Угол поворота, угол произвольной величины. Вращение плоскости вокруг точки - частный случай движения плоскости Параллельный перенос поворот под углом

Поворот (вращение) - движение, при котором по крайней мере одна точка
плоскости (пространства) остаётся неподвижной.
В физике нередко поворотом называется неполное вращение, или, наоборот,
вращение рассматривается как частный вид поворота. Последнее определение
более строго, поскольку понятие поворот охватывает значительно более широкую
категорию движений, в том числе и такое, при котором траектория движущегося
тела в избранной системе отсчёта представляет собой незамкнутую кривую.

Поворотом плоскости вокруг точки О на угол
называется
отображается в такую точку М1, что ОМ = ОМ1 и угол МОМ1 равен
М1
М
O

110
100
120
60
70
100
80
40
30
140
30
150
160
20
170
170
10
180
50
110
130
40
160
М160
120
50
150
70
90
130
140
80
180
0
О
М
20
10
0

А1
В1
А
О
В

O

Поворот отрезка.
O
O

Центр поворота фигуры
может быть во внутренней
области фигуры и во
внешней…
O

При повороте
многоугольника надо
повернуть каждую
вершину.
O

10.

Параллельный перенос ― частный случай движения, при котором все
точки пространства перемещаются в одном и том же направлении на
одно и то же расстояние. Иначе, если M ― первоначальное, а M" ―
смещенное положение точки, то вектор MM" ― один и тот же для всех
пар точек, соответствующих друг другу в данном преобразовании.
Параллельный перенос перемещает каждую точку фигуры или
пространства на одно и то же расстояние в одном и том же
направлении.

11.

a
Параллельным переносом на вектор
называется
отображение плоскости на себя, при котором каждая точка М
отображается в такую точку М1, что вектор ММ1 равен вектору
М

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цели урока:

Образовательные

• ввести понятие поворота и доказать, что поворот есть движение;
• рассмотреть поворот отрезка, в зависимости от центра поворота (центр поворота лежит вне отрезка, на отрезке и является одним из концов отрезка);
• научить построению отрезка при повороте его на данный угол;
• проверить усвоение материала, изученного на предыдущих уроках и материала, пройденного на этом уроке.

Развивающие

• развивать умение анализировать условие задачи, строить логическую цепочку при решении задач, обоснованно делать выводы;
• развивать мыслительный процесс, познавательный интерес, математическую речь учащихся;

Воспитательные

• воспитывать внимательность, наблюдательность, положительное отношение к обучению.

Тип урока : урок изучения нового материала и промежуточного контроля усвоения учащимися пройденного на этом уроке и изученного ранее материала.

Организационные формы общения: коллективная, индивидуальная, фронтальная, в парах.

Структура занятия:

1. Мотивационная беседа с учащимися с последующей постановкой целей;
2. Проверка домашнего задания;
3. Актуализация опорных знаний;
4. Обогащение знаний;
5. Закрепление изученного материала;
6. Проверка усвоения изученного материала (тестирование с последующей взаимопроверкой);
7. Подведение итога занятия (рефлексия);
8. Домашнее задание.

Оформление: мультимедийный проектор, экран, ноутбук, компьютерная презентация, сигнальные карточки.

Мотивационная беседа.

Без движения - жизнь только летаргический сон.
Жан Жак Руссо

I. Сообщение темы, целей и хода урока. (СЛАЙД 2)

Ребята, Вы знаете какую важную роль имеет движение в жизни человека, общества, науки. Большую роль играет движение и в математике: преобразование графиков, отображение точек, фигур, плоскостей – всё это движение. На предыдущих уроках мы с Вами рассмотрели несколько видов движения. Сегодня мы познакомимся ещё с одним видом движения: поворотом. Тема урока: поворот.

И наш урок тоже является примером движения, только движения не с физической точки зрения, а движением в умственном развитии, познании нового и приобретения новых знаний. В течение всего урока Вы будете выполнять различные задачи, тесты. Поэтому будьте активны, продвигайтесь в своих знаниях вперёд на протяжении всего урока и улучшайте свои результаты от одного этапа к другому!

В течение всего урока, как мою речь, так и вашу будет сопровождать презентация, которая поможет проверить правильность выполнения Вами домашней работы, предложенных тестов и самостоятельно решённых задач.

II. Проверка домашнего задания.

С помощью СЛАЙДОВ 3-5 проверить решение № 1165.

III. Актуализация опорных знаний.

Тест №1. (СЛАЙДЫ 6-13)

Приложение 1

После выполнения теста ребята обмениваются тетрадями и выполняют взаимопроверку.

IV. Изучение нового материала. (обогащение знаний)

(СЛАЙД 14) Отметим на плоскости точку О (неподвижная точка), и зададим угол a – угол поворота. Поворотом плоскости вокруг точки О на угол a называется отображение плоскости на себя, при котором каждая точка M отображается в такую точку M 1 , что OM =OM 1 и угол MOM 1 = a .

(СЛАЙД 15) При этом точка O остаётся на месте, т.е. отображается сама в себя, а все остальные точки поворачиваются вокруг точки O в одном и том же направлении на угол a по часовой стрелки или против часовой стрелки.

(СЛАЙД 16) Точка О называется центром поворота, a – угол поворота. Обозначается Р о a .

(СЛАЙД 17) Если поворот выполняется по часовой стрелке, то угол поворота a считается отрицательным. Если поворот выполняется против часовой стрелки, то угол поворота – положительный.

Ребята, давайте вспомним понятие движения. Как Вы думаете, является ли поворот движением? (высказывают предположения)

Поворот – является движением, т.е. отображением плоскости на себя. Докажем это.

(СЛАЙД 18 или СЛАЙД 19)

(Доказательство может выполнить сильный ученик по СЛАЙДУ 18. В этом случае можно сразу после доказательства перейти к СЛАЙДУ 20. Доказательство может выполнить учитель вместе с классом по СЛАЙДУ 19, на котором отображаются этапы доказательства.)

V. Закрепление изученного материала.

Задание. Построить точку M 1 , которая получается из точки M поворотом на угол 60 o . Поэтапно с помощью слайда 20 прорабатывается построение точки M 1 .

Какие инструменты нам понадобятся для того, чтобы выполнить поворот? (линейка, циркуль, транспортир)

Ребята, что сначала нужно отметить? (точку M и центр поворота – точку O)

Как задаём центр поворота? Отмечаем в определённом месте? (нет, произвольно)

Как будем выполнять поворот по часовой или против часовой стрелки? Почему? (против, т.к. угол положительный)

Что нужно построить, чтобы отложить угол 60 o ? (луч OM)

Как найти на второй стороне угла точку M 1 ? (с помощью циркуля отложить отрезок OM 1 =OM)

Рассмотрим, как выполняется поворот отрезка в зависимости от расположения центра поворота.

Рассмотрим случай, когда центр поворота лежит вне отрезка. Решим № 1166 (а). (Если класс сильный, то можно вместе с детьми составить план решения задачи, дать задание решить № 1166 (а) самостоятельно. Решение проверить с помощью СЛАЙДА 21. Если ребята затрудняются с выполнением задания, то решать коллективно, опираясь на СЛАЙД 21)

Работа в парах.

Задание. Построить фигуру, которая получится при повороте отрезка AB на угол - 100 o вокруг точки А.

(наводящие вопросы)

Какая точка является центром поворота? Что можно о ней сказать? (это один из концов отрезка – точка А, она будет неподвижной, оставаться на месте)

Как будем выполнять поворот по часовой стрелки или против часовой? (по часовой, т.к. угол отрицательный)

Составьте план решения задачи.

Задание выполняют по парам. Проверяют решение с помощью СЛАЙДА 22.

Индивидуальная работа.

Задание . Построить фигуру, в которую переходит отрезок AB при повороте на угол – 100 o вокруг точки О – середины отрезка AB.

Составьте план решения задачи. Задание выполняют самостоятельно, решение проверяем с помощью СЛАЙДА 23.

Сегодня на уроке мы рассмотрели поворот отрезка в зависимости от расположения центра поворота. На следующих уроках мы рассмотрим повороты других фигур. (продемонстрировать СЛАЙДЫ 24-25)

VI. Проверка усвоения изученного материала.

Тест №2. (СЛАЙДЫ 26-30)

Приложение 2

Самопроверка.

VII. Подведение итога урока. (рефлексия)

Ребята, давайте выделим тех, кто был лучшим на каждом этапе. (подводится итог, выставляются оценки)

Поднимите руки, кому понравился урок. Отметьте, что интересного было на уроке?

VII. Домашнее задание.

• № 1166 (б), № 1167 – для тех, кто получил оценку “3”.
• № 1167 (рассмотреть три случая расположения центра поворота: центр - вершина А, центр расположен вне треугольника, центр лежит на стороне АВ треугольника) – для тех, кто получил оценку “4” и “5”.

Вращение - частный случай движения, при котором по крайней мере одна точка плоскости (пространства) остаётся неподвижной. При вращении плоскости неподвижная точка называется центром вращения, при вращении пространства неподвижная прямая называется осью вращения. Вращение плоскости (пространства) называется собственным (вращение первого рода) или несобственным (вращение второго рода) в зависимости от того, сохраняет оно или нет ориентацию плоскости (пространства).

На плоскости в прямоугольных декартовых координатах собственное вращение выражается формулами

x" = x cos? - y sin?, y" = x sin? + y cos?,

где?- угол поворота, а центр вращения выбран в начале координат. При тех же условиях несобственное вращение плоскости выражается формулой

x" = xcos? + y sin?, y" = x sin?- y cos?.

Поворотом плоскости вокруг точки S на направленный угол ѓї называется такое отображение плоскости на себя, которое каждую точку М плоскости переводит в такую точку M`, что SM = SM` и направленный угол ЃЪMSM` равен ѓї.

Точка S называется центром поворота, а направленный угол ѓї - углом поворота. Напомним, что угол называется направленным, если указано, какая из его сторон считается первой, а какая - второй.

Для обозначения поворота будем использовать символ.

Прежде всего докажем, что поворот плоскости сохраняет расстояние между точками. Для этого на плоскости возьмем две различные точки M и N. Обозначим через M` и N` их образы при повороте вокруг точки S на направленный угол ѓї. Рассмотрим треугольники SMN и SM`N`. В этих треугольниках стороны SM и SM`, SN и SN`, соответственно, равны.

Нетрудно убедиться и в том, что углы MSN и M`SN` этих треугольников тоже равны. А это значит, что равны и сами треугольники MSN и M`SN`. Из равенства этих треугольников следует равенство отрезков MN и M`N`. Таким образом, поворот плоскости вокруг данной точки на заданный направленный угол является движением.

На плоскости рассмотрим поворот с центром в точке S и углом ѓї. Зададим ПДСК так, чтобы ее началом служила точка S, а координатные векторы i, j были единичны и взаимно перпендикулярны. Произвольно на плоскости возьмем точку М (х, у) с координатами х и у относительно ПДСК Sху. Под действием поворота эта точка перейдет в некоторую точку M`(x`, y`). Выразим координаты точки M` через координаты ее прообраза, угол ѓї и координаты центра поворота. В треугольнике SM`Mx` длина катета SMx` равна |х`|, а длина катета М`Мх` равна |у`|, а в треугольнике SMMx - SMx = |x|, MMx = |y|. Обозначим через ѓА направленный угол, который образует луч SM с положительным направлением оси абсцисс (рис. 2.2). Тогда в ориентированном прямоугольном треугольнике Mx`SM` направленный угол ЃЪ Mx`SM` равен сумме направленных углов ѓї и ѓА, а длина гипотенузы SM` равна. С учетом этих соотношений получаем, что

Эти формулы являются формулами поворота плоскости вокруг начала координат на направленный угол ѓї. Используя эти формулы, можно показать, что поворот плоскости вокруг точки на заданный направленный угол обладает следующими свойствами.

Свойства поворота плоскости вокруг точки

1. При повороте плоскости вокруг данной точки на заданный направленный угол прямая переходит в прямую, образующую с данной прямой направленный угол, равный углу поворота.

Доказательство. Пусть относительно системы координат Oxy прямая d определяется уравнением ax + by + c = 0, где. Зададим поворот плоскости вокруг точки О на направленный угол ѓї формулами (2.1.). Найдем уравнение образа прямой d при этом повороте. Для этого из формул (2.1.) выразим x и y через xЃЊ и yЃЊ получим формулы вида,

Чтобы получить уравнение образа прямой d в уравнении ax + by + c = 0 заменим х и у выражениями (xЃЊ cosѓї + yЃЊ sinѓї) и (? xЃЊ sinѓї + yЃЊcosѓї) . В результате получим уравнение вида. В левой части этого уравнения раскроем скобки и приведем его к виду

Поскольку

то уравнение (acosѓї ? bsinѓї)xЃЊ + (asinѓї + bcosѓї) yЃЊ + c = 0 определяет на плоскости прямую.

• 2. При повороте вокруг данной точки на заданный направленный угол параллельные прямые переходят в параллельные прямые.
• 3. Поворот плоскости вокруг данной точки на заданный направленный угол сохраняет простое отношение трех точек.

Доказательство. На плоскости зададим ПДСК Оху. Произвольно возьмем две точки и. Пусть точка M(x, y) делит отрезок М 1 М 2 в отношении ѓЙ Ѓ‚ ?1. Рассмотрим поворот плоскости вокруг точки О на направленный угол ѓї формулами (2.1.). Обозначим через, и MЃЊ (xЃЊ, yЃЊ) образы точек, и M (x, y) при этом повороте. Покажем, что поворот сохраняет простое отношение трех точек, и M (x, y) . Поскольку для координат точек, и M (x, y) справедливы соотношения

то для доказательства того факта, что точка MЃЊ(xЃЊ, yЃЊ) делит отрезок в том же самом отношении ѓЙ Ѓ‚ ?1 достаточно показать, что

Для этого в формулах

заменим на, на, на, на, на, на. В результате получим соотношения

Умножим первое - на cos? , а второе - на? sin? и сложим. В результате получим равенство. Теперь умножим обе части первого соотношения на sin? , а второго - на cos? и сложим. Получим равенство.

Итак, мы показали, что точка M? (x?, y?) делит отрезок в том же самом отношении? ? ?1, что и точка делит отрезок M 1 M 2 . А это значит, что поворот плоскости вокруг точки на заданный угол сохраняет простое отношение трех точек.

• 4. При повороте плоскости вокруг данной точки на заданный направленный угол отрезок переходит в равный ему отрезок, луч - в луч, полуплоскость - в полуплоскость.
• 5. При повороте плоскости вокруг данной точки на заданный направленный угол ортонормированный репер R переходит в ортонормированный R`.

При этом точка М с координатами х и у относительно репера R переходит в точку М` с теми же самыми координатами х и у, но относительно репера R`.

6. Композиция двух поворотов вокруг точки О есть поворот с центром в точке О.

7. Композиция двух поворотов плоскости есть поворот на направленный угол с центром в точке С такой, что, .

• 8. Композиция двух осевых симметрий плоскости с непараллельными осями m1 и m2, пересекающимися в точке О и образующими направленный угол, есть поворот плоскости вокруг точки О.
• 9. Всякий поворот плоскости вокруг точки О можно представить в виде композиции двух осевых симметрий, осью одной из них будет служить прямая p, проходящая через центр О, а осью другой - прямая q, содержащая биссектрису угла, образованного образом m` луча m при повороте вокруг точки О на заданный угол и образом m`` луча m` при осевой симметрии с осью р.

При решении задач, связанных с нахождением образов и прообразов геометрических фигур, заданных своими аналитическими условиями относительно прямоугольной декартовой системы координат Oxy, при повороте плоскости вокруг точки на заданный направленный угол, целесообразно использовать формулы, задающие поворот с центром в произвольной точке S(х0, у0), отличной от начала координат. Для того, чтобы вывести эти формулы, воспользуемся тем, что поворот плоскости переводит ортонормированный репер R в ортонормированный репер R`, а всякую точку M с координатами (х, у) относительно репера R в точку M` с теми же самыми координатами, но относительно репера R`.

С другой стороны, точка M` относительно репера R` тоже имеет какие-то координаты. Обозначим их через x` и y`. Таким образом, на плоскости имеем две системы координат: одна из них определяется репером R, а другая - репером R`.

Первую из них назовем "старой", а вторую - "новой". В соответствии с этим "старыми" координатами точки M` будет являться упорядоченная пара чисел (x`, y`), а "новыми" координатами - упорядоченная пара чисел (х, у). Используя формулы, выражающие "старые" координаты точки через ее "новые" при переходе от одной системы координат к другой, получим формулы:

Поскольку точка является инвариантной точкой поворота, то ее координаты удовлетворяют следующим условиям:

Вычитая из обеих частей равенств (2.2.) соответствующие части соответствующих равенств (2.3.), получим формулы, которые выражают координаты образа M` точки M через координаты самой точки M:

Формулы (2.4) являются формулами поворота плоскости вокруг точки на заданный направленный угол.

ПЛАН-КОНСПЕКТ УРОКА

ФИО Любакова Мария Васильевна

Место работы МОУ “Средняя общеобразовательная школа №34” г. Рязани

Должность учитель

Предмет геометрия

Класс 9

Тема и номер урока в теме Движения, урок №3

Базовый учебник Геометрия. 7-9 классы. Л.С. Атанасян, В.Ф, Бутузов, С.Б.Кадомцев и др.

Цель урока: Изучение новых видов движения и их свойств.

. Задачи:

- обучающие Познакомить учащихся с новыми видами движения

-развивающие Развивать способности учащихся к самостоятельной деятельности

воспитательные Воспитание целостного представления о естественно-математических дисциплинах, установление межпредметных связей; развитие навыков обобщения и анализа.

Тип урока урок объяснения нового материала

Формы работы учащихся практическая работа, работа с компьютерной моделью.

Необходимое техническое оборудование компьютерный класс с сетевым подключением, проектор

СТРУКТУРА И ХОД УРОКА

Название используемых ЭОР

(с указанием порядкового номера из Таблицы 2)

Деятельность учителя

(с указанием действий с ЭОР, например, демонстрация)

Деятельность ученика

Время

(в мин.)

Организационный

Проверка готовности учащихся к уроку, создание условий для положительного настроя учащихся на дальнейшую деятельность

1 мин

Актуализация опорных знаний

1. Понятие движения. П2

На прошлом уроке мы познакомились с понятием отображения плоскости на себя и движением.

Вопросы классу :

Объясните, что такое отображение плоскости на себя.

Какие виды отображений вы знаете?

Что такое движение плоскости?

В какую фигуру при движении отображается отрезок? треугольник?

Верно ли, что при движении любая фигура отображается на равную ей фигуру?

Выполните задание из модуля.

Отвечают на вопросы

Выполняют задание не повторение понятия движения в модуле.

5 мин

Объяснение нового материала.

2. Параллельный перенос.

Сегодня мы познакомимся с ещё двумя видами движения. Они называются Параллельный перенос и поворот (Сейчас вы прослушаете рассказ об этих видах движения.

Компьютерная лекция - перенос.

Параллельный перенос на вектор - это отображение плоскости на себя при котором точке А ставится в соответствие такая точка А’, что
.

Свойства:

Является движением;

Сохраняет направление прямых и лучей,

Сохраняет ориентацию.

Изобразим в тетради отрезок АВ и вектор . Построим отрезок А 1 В 1 , который получится из отрезка АВ параллельным переносом на вектор .

Где в математике мы уже встречались с параллельным переносом? – при построении графиков функций (слайд). Попробуйте определить координаты вектора переноса?

Записывают тему в тетради и на доске. Слушают лекцию После прослушивания записывают название движения и свойства, рисуют чертёж.

Рисуют в тетради чертёж.

Рассматривают слайд, отвечают на вопрос.

15 мин

3. Поворот

Продолжение лекции – поворот.

Записываем в тетради определение и рисуем чертёж c проектора:

Поворот плоскости вокруг центра О на угол  – отражение плоскости на себя, при котором О→О, М→М 1 и ОМ=ОМ 1 ,  МОМ 1 = .

Продолжение лекции

Свойство: поворот является движением.

Поворот также можно наблюдать при построении графиков функций (пример на слайде).

Записывают в тетради название движения, определение и рисуем чертёж c экрана.

Записывают в тетради свойство.

Решение задач на построение фигур при движении.

А теперь выполним построение фигур, получаемых при переносе и повороте.

1) Начертите треугольник АВС и точку, лежащую вне треугольника. Постройте треугольник, получаемый из данного переносом на вектор АО.

2) начертите квадрат АВС D и постройте квадрат, который получается из данного поворотом вокруг точки А на 120 .

Выполняют задание в тетради.

7 мин

4. «Математический конструктор»

Задача на построение фигуры, получающейся из данной параллельным переносом на заданный вектор.

Задание на построение с помощью поворота.

Как видим, выполнять построение образов фигур при движении затруднительно на бумаге. Воспользуемся возможностями компьютера.

Дан шестиугольник ABCD

Даны квадрат и окружность с центром E ; точка К, принадлежащая квадрату и точка G , не принадлежащая квадрату. Построить на окружности точку N так, чтобы  KGN =120 .

Постройте треугольник, который получается из данного треугольника ABC

а) поворотом вокруг точки А на угол 60 по часовой стрелке – закрасьте её в голубой цвет;

б) поворотом вокруг точки С на угол 40 против часовой стрелки - закрасьте её в жёлтый цвет

Выполняют работу на компьютере с помощью математического конструктора.

Для Задачи 1и 2 используются заготовки. Задача 3 выполняется полностью самостоятельно. Файлы сохраняются в сетевой папке.

12 мин

Подведение итогов

Просмотрим ваши результаты. Выборочно просматриваем по сети работы учеников.

Вопросы классу: Удобен ли способ построение компьютерных моделей рассмотренных видов движения? В чём его преимущество? В чём недостаток?

По результатам работы выставляются оценки.

Домашнее задание: п. 116, 117, №1170, 1163(б) (записано на обратной стороне доски.

Смотрят результаты работы одноклассников, высказывают собственное мнение о работах.

5 мин

Литература

«Геометрия», 7-9 классы, Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И.

Приложение к плану-конспекту урока

Параллельный перенос и поворот

Таблица 2.

ПЕРЕЧЕНЬ ИСПОЛЬЗУЕМЫХ НА ДАННОМ УРОКЕ ЭОР

Практический

Параллельный перенос.

Информационный

Анимация

http :// school - collection . edu . ru / catalog / res / c 25 d 57 b 1-5115-4 ba 1-91 d 9-1091 c 1616200/ view /

Введем определение параллельного переноса на вектор . Пусть нам дан вектор $\overrightarrow{a}$.

Определение 1

Параллельный перенос на вектор $\overrightarrow{a}$ - отображение плоскости на себя, при котором любая точка $M$ отображается на точку $M_1$ такую, что $\overrightarrow{{MM}_1}=\overrightarrow{a}$ (Рис. 1).

Рисунок 1. Параллельный перенос

Введем следующую теорему.

Теорема 1

Параллельный перенос является движением.

Доказательство.

Пусть нам даны точки $M\ и\ N$. Пусть при их параллельном переносе на вектор $\overrightarrow{a}$ эти точки отображаются в точки $M_1$ и $N_1$, соответственно (рис. 2).

Рисунок 2. Иллюстрация теоремы 1

Так как, по определению 1, $\overrightarrow{{MM}_1}=\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{{NN}_1}=\overrightarrow{a}$, то, $\overrightarrow{{MM}_1}=\overrightarrow{{NN}_1}$, следовательно, из определения равных векторов получим

Значит четырехугольник ${MM}_1N_1N$ -- параллелограмм и, следовательно, $MN=M_1N_1$. То есть параллельный перенос сохраняет расстояние между точками. Следовательно, параллельный перенос является движением.

Теорема доказана.

Введем определение поворота вокруг точки $O$ на угол $\alpha $.

Определение 2

Поворот вокруг точки $O$ на угол $\alpha $ - отображение плоскости на себя, при котором любая точка $M$ отображается на точку $M_1$ такую, что ${OM}_1=OM,\ \angle M{OM}_1=\angle \alpha $ (Рис. 3).

Рисунок 3. Поворот

Введем следующую теорему.

Теорема 2

Поворот является движением.

Доказательство.

Пусть нам даны точки $M\ и\ N$. Пусть при их повороте вокруг точки $O$ на угол $\alpha $ они отображаются в точки $M_1$ и $N_1$, соответственно (рис. 4).

Рисунок 4. Иллюстрация теоремы 2

Так как, по определению 2, ${OM}_1=OM,\ {ON}_1=ON$ и $\overrightarrow{{NN}_1}=\overrightarrow{a}$, а,$\angle MON=\angle M_1ON_1$, то

Следовательно, $MN=M_1N_1$. То есть поворот сохраняет расстояние между точками. Следовательно, поворот является движением.

Теорема доказана.

Примеры задач на параллельный перенос и поворот

Пример 1

Построить треугольник $A_1B_1C_1$,образованный поворотом вокруг точки $B$ на угол ${45}^0$ равнобедренного прямоугольного (с прямым углом $B)$ треугольника $ABC$.

Решение.

Очевидно, что точка $B$ перейдет сама в себя, то есть $B_1=B$. Так как поворот производится на угол, равный ${45}^0$, а треугольник $ABC$ равнобедренный, то прямая $BA_1$ проходит через точку $L$ -- середины стороны $AC$. По определению,