Пусть в некоторой окрестности точки определена функция Производной функции в точке называется предел, если он существует,
Общепринятые обозначения производной функции в точке
Таблица производных
Геометрический смысл производной функции в точке.
Рассмотрим секущую АВ
графика функции y=f(x)
такую, что точки А
и В
имеют соответственно координаты и 
, где - приращение аргумента. Обозначим через приращение функции. Отметим все на чертеже:
Из прямоугольного треугольника АВС
имеем . Так как по определению касательная – это предельное положение секущей, то 
.
Вспомним определение производной функции в точке: производной функции y=f(x)
в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при , обозначается 
.
Следовательно, 
, где - угловой коэффициент касательной.
Таким образом, существование производной функции y=f(x) в точке эквивалентно существованию касательной к графику функции y=f(x) в точке касания , причем угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке , то есть .
Заключаем: геометрический смысл производной функции в точке состоит в существовании касательной к графику функции в этой точке.
20 Дифференцируемость функции в точке. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости.
Приращение дифференцируемой в данной точке функции можно представить как линейную функцию приращения аргумента с точностью до величин более высокого порядка малости. Это означает, что для достаточно малых окрестностей данной точки функцию можно заменить линейной (скорость изменения функции можно считать неизменной). Линейная часть приращения функции называется ее дифференциалом (в данной точке).
Необходимым, но не достаточным условием дифференцируемости является непрерывность функции. В случае функции от одной вещественной переменной дифференцируемость равносильна существованию производной. В случае функции нескольких вещественных переменных необходимым (но не достаточным) условием дифференцируемости является существование частных производных по всем переменным. Для дифференцируемости функции нескольких переменных в точке достаточно, чтобы частные производные существовали в некоторой окрестности рассматриваемой точки и были непрерывны в данной точке.
21 Дифференцируемость функции в точке. Теорема о непрерывности дифференцируемой функции.
Теорема.
Если функция в данной точке дифференцируема, то в этой точке функция непрерывна.
Доказательство.
Пусть функция y=f(x)y=f(x) дифференцируема в точке x0x0, тода приращение этой функии равно Δy=A⋅Δx+α(Δx)⋅xΔy=A⋅Δx+α(Δx)⋅x.
При стремлении приращения аргумента функции ΔxΔx к нулю приращение функции ΔyΔyтакже стремится к нулю, а это и означает непрерывность функции.
То есть в итоге мы получили, что функция y=f(x)y=f(x), дифференцируемая в точке x0x0, является в этой точке и непрерывной функцией. Что и требовалось доказать.
Таким образом непрырывность функции в данной точке является необходимым, но недостаточным условием для дифференцируемости функции.
Пример.
Функция y=|x|y=|x| в точке x0x0 является непрерывной функцией, но в этой точке функция не дифференцируема.
Действительно, приращение функии равно:
Δy=f(x0+Δx)−f(x0)=|Δx|Δy=f(x0+Δx)−f(x0)=|Δx|.
При этом получаем:
ΔyΔx=|Δx|Δx={1,Δx>0,−1,Δx<0ΔyΔx=|Δx|Δx={1,Δx>0,−1,Δx<0.
Предел limΔx→0ΔyΔxlimΔx→0ΔyΔx не существует, а значите функцкия y=|x|y=|x|, непрерывная в точке x0x0, не дифференцируема в этой точке.
22 Дифференциал функции. Геометрический смысл дифференциала.
Дифференциалом функции в некоторой точке x называется главная, линейная часть приращения функции.
Дифференциал функции y = f (x ) равен произведению её производной на приращение независимой переменной x (аргумента).
Это записывается так:
Геометрический смысл дифференциала. Дифференциал функции y = f (x ) равен приращению ординаты касательной S, проведённой к графику этой функции в точке M(x ; y ), при изменении x (аргумента) на величину (см. рисунок)..
23 Правило дифференцируемости суммы и произведения.
Для доказательства второго правила дифференцирования воспользуемся определением производной и свойством предела непрерывной функции.
Подобным образом можно доказать, что производная суммы (разности) n функций равна сумме (разности) n производных
Докажем правило дифференцирования произведения двух функций .
Запишем предел отношения приращения произведения функций к приращению аргумента. Будем учитывать, что и (приращение функции стремиться к нулю при приращении аргумента, стремящемся к нулю).
Что и требовалось доказать.
24 Инвариантность формы 1 дифференциала.
Инвариантность формы первого дифференциала
Если x - независимая переменная, то dx = x - x 0 (фиксированное приращение). В этом случае имеем
df (x 0) = f" (x 0)dx . (3)
Если x = φ (t ) - дифференцируемая функция, то dx = φ" (t 0)dt . Следовательно,
т. е. первый дифференциал обладает свойством инвариантности относительно замены аргумента.
25 Теорема Ролля.
Теорема Ро́лля (теорема о нуле производной ) утверждает, что
Доказательство
Если функция на отрезке постоянна, то утверждение очевидно, поскольку производная функции равна нулю в любой точке интервала.
Если же нет, поскольку значения функции в граничных точках сегмента равны, то согласно теореме Вейерштрасса, она принимает своё наибольшее или наименьшее значение в некоторой точке интервала, то есть имеет в этой точке локальный экстремум, и по Лемме Ферма, в этой точке производная равна 0.
Геометрический смысл
Теорема утверждает, что если ординаты обоих концов гладкой кривой равны, то на кривой найдется точка, в которой касательная к кривой параллельна оси абсцисс.
26 Теорема Лагранжа и ее следствия.
Формула конечных приращений или теорема Лагра́нжа о среднем значении утверждает, что если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема в интервале , то найдётся такая точка , что
.
Геометрически это можно переформулировать так: на отрезке найдётся точка, в которой касательнаяпараллельна хорде, проходящей через точки графика, соответствующие концам отрезка.
Механическое истолкование : Пусть - расстояние точки в момент от начального положения. Тогда есть путь, пройденный с момента до момента , отношение - средняя скорость за этот промежуток. Значит, если скорость тела определена в любой момент времени , то в некоторый момент она будет равна своему среднему значению на этом участке.
Доказательство
Для функции одной переменной:
Введем функцию . Для нее выполнены условия теоремы Ролля: на концах отрезка ее значения равны нулю. Воспользовавшись упомянутой теоремой, получим, что существует точка , в которой производная функции равна нулю:
что и требовалось доказать.
Следствия и обобщения
Теорема Лагранжа о конечных приращениях - одна из самых важных, узловая теорема во всей системе дифференциального исчисления. Она имеет массу приложений в вычислительной математике, и главнейшие теоремы математического анализа также являются её следствиями.
Следствие 1. Дифференцируемая на отрезке функция с производной, равной нулю, есть константа.
Доказательство. Для любых и существует точка , такая что .
Значит, при всех и верно равенство .
Следствие 2 (Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа). Если функция дифференцируема раз в окрестности точки , то для малых (т.е. тех, для которых отрезок лежит в указанной окрестности) справедлива формула Тейлора:
где - некоторое число из интервала .
Следствие 3.
Если функция переменных дважды дифференцируема в окрестности точки О и все её вторые смешанные производные непрерывны в точке О, тогда в этой точке справедливо равенство: 
Доказательство для . Зафиксируем значения и и рассмотрим разностные операторы
По теореме Лагранжа существуют числа 
, такие что
при 
в силу непрерывности вторых производных функции .
Аналогично доказывается, что 
.
Но так как , (что проверяется непосредственно), то эти пределы совпадают.
Следствие 4 (Формула Ньютона-Лейбница).
Если функция дифференцируема на отрезке и её производная интегрируема по Риману на этом отрезке, то справедлива формула: 
.
Доказательство. Пусть - произвольное разбиение отрезка . Применяя теорему Лагранжа, на каждом из отрезков найдём точку такую, что .
Суммируя эти равенства, получим:
Слева стоит интегральная сумма Римана для интеграла и заданного отмеченного разбиения. Переходя к пределу по диаметру разбиения, получим формулу Ньютона-Лейбница.
Следствие 5 (Теорема об оценке конечных приращений). Пусть отображение непрерывно дифференцируемо в выпуклой компактной области пространства . Тогда .
27 Теорема Каши.
Теорема Коши́ о среднем значении .
Пусть даны две функции и такие, что:
1. и определены и непрерывны на отрезке ;
2. производные и конечны на интервале ;
3. производные и не обращаются в нуль одновременно на интервале
4. ;
тогда существует , для которой верно:
 .
(Если убрать условие 4, то необходимо, например, усилить условие 3: g"(x) не должна обращаться в ноль нигде в интервале .)
|
Геометрически это можно переформулировать так: если и задают закон движения на плоскости (то есть определяют абсциссу и ординату через параметр ), то на любом отрезке такой кривой, заданном параметрами и , найдётся касательный вектор, коллинеарный вектору перемещения от до .
Процесс нахождения производной функции называется дифференцированием. Производную приходится находить в ряде задач курса математического анализа. Например, при отыскании точек экстремума и перегиба графика функции.
Как найти?
Чтобы найти производную функции нужно знать таблицу производных элементарных функций и применять основные правила дифференцирования :
- Вынос константы за знак производной: $$ (Cu)" = C(u)" $$
- Производная суммы /разности функций: $$ (u \pm v)" = (u)" \pm (v)" $$
- Производная произведения двух функций: $$ (u \cdot v)" = u"v + uv" $$
- Производная дроби : $$ \bigg (\frac{u}{v} \bigg)" = \frac{u"v - uv"}{v^2} $$
- Производная сложной функции : $$ (f(g(x)))" = f"(g(x)) \cdot g"(x) $$
Примеры решения
| Пример 1 |
| Найти производную функции $ y = x^3 - 2x^2 + 7x - 1 $ |
| Решение |
|
Производная суммы/разности функций равна сумме/разности производных: $$ y" = (x^3 - 2x^2 + 7x - 1)" = (x^3)" - (2x^2)" + (7x)" - (1)" = $$ Используя правило производной степенной функции $ (x^p)" = px^{p-1} $ имеем: $$ y" = 3x^{3-1} - 2 \cdot 2 x^{2-1} + 7 - 0 = 3x^2 - 4x + 7 $$ Так же было учтено, что производная от константы равна нулю. Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| $$ y" = 3x^2 - 4x + 7 $$ |
Производная функции - одна из сложных тем в школьной программе. Не каждый выпускник ответит на вопрос, что такое производная.
В этой статье просто и понятно рассказано о том, что такое производная и для чего она нужна . Мы не будем сейчас стремиться к математической строгости изложения. Самое главное - понять смысл.
Запомним определение:
Производная - это скорость изменения функции.
На рисунке - графики трех функций. Как вы думаете, какая из них быстрее растет?
Ответ очевиден - третья. У нее самая большая скорость изменения, то есть самая большая производная.
Вот другой пример.
Костя, Гриша и Матвей одновременно устроились на работу. Посмотрим, как менялся их доход в течение года:
На графике сразу все видно, не правда ли? Доход Кости за полгода вырос больше чем в два раза. И у Гриши доход тоже вырос, но совсем чуть-чуть. А доход Матвея уменьшился до нуля. Стартовые условия одинаковые, а скорость изменения функции, то есть производная , - разная. Что касается Матвея - у его дохода производная вообще отрицательна.
Интуитивно мы без труда оцениваем скорость изменения функции. Но как же это делаем?
На самом деле мы смотрим, насколько круто идет вверх (или вниз) график функции. Другими словами - насколько быстро меняется у с изменением х. Очевидно, что одна и та же функция в разных точках может иметь разное значение производной - то есть может меняться быстрее или медленнее.
Производная функции обозначается .
Покажем, как найти с помощью графика.
Нарисован график некоторой функции . Возьмем на нем точку с абсциссой . Проведём в этой точке касательную к графику функции. Мы хотим оценить, насколько круто вверх идет график функции. Удобная величина для этого - тангенс угла наклона касательной .
Производная функции в точке равна тангенсу угла наклона касательной, проведённой к графику функции в этой точке.
Обратите внимание - в качестве угла наклона касательной мы берем угол между касательной и положительным направлением оси .
Иногда учащиеся спрашивают, что такое касательная к графику функции. Это прямая, имеющая на данном участке единственную общую точку с графиком, причем так, как показано на нашем рисунке. Похоже на касательную к окружности.
Найдем . Мы помним, что тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Из треугольника :
Мы нашли производную с помощью графика, даже не зная формулу функции. Такие задачи часто встречаются в ЕГЭ по математике под номером .
Есть и другое важное соотношение. Вспомним, что прямая задается уравнением
Величина в этом уравнении называется угловым коэффициентом прямой . Она равна тангенсу угла наклона прямой к оси .
.
Мы получаем, что
Запомним эту формулу. Она выражает геометрический смысл производной.
Производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке.
Другими словами, производная равна тангенсу угла наклона касательной.
Мы уже сказали, что у одной и той же функции в разных точках может быть разная производная. Посмотрим, как же связана производная с поведением функции.
Нарисуем график некоторой функции . Пусть на одних участках эта функция возрастает, на других - убывает, причем с разной скоростью. И пусть у этой функции будут точки максимума и минимума.
В точке функция возрастает. Касательная к графику, проведенная в точке , образует острый угол с положительным направлением оси . Значит, в точке производная положительна.
В точке наша функция убывает. Касательная в этой точке образует тупой угол с положительным направлением оси . Поскольку тангенс тупого угла отрицателен, в точке производная отрицательна.
Вот что получается:
Если функция возрастает, ее производная положительна.
Если убывает, ее производная отрицательна.
А что же будет в точках максимума и минимума? Мы видим, что в точках (точка максимума) и (точка минимума) касательная горизонтальна. Следовательно, тангенс угла наклона касательной в этих точках равен нулю, и производная тоже равна нулю.
Точка - точка максимума. В этой точке возрастание функции сменяется убыванием. Следовательно, знак производной меняется в точке с «плюса» на «минус».
В точке - точке минимума - производная тоже равна нулю, но ее знак меняется с «минуса» на «плюс».
Вывод: с помощью производной можно узнать о поведении функции всё, что нас интересует.
Если производная положительна, то функция возрастает.
Если производная отрицательная, то функция убывает.
В точке максимума производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус».
В точке минимума производная тоже равна нулю и меняет знак с «минуса» на «плюс».
Запишем эти выводы в виде таблицы:
| возрастает | точка максимума | убывает | точка минимума | возрастает | |
| + | 0 | - | 0 | + |
Сделаем два небольших уточнения. Одно из них понадобится вам при решении задач ЕГЭ. Другое - на первом курсе, при более серьезном изучении функций и производных.
Возможен случай, когда производная функции в какой-либо точке равна нулю, но ни максимума, ни минимума у функции в этой точке нет. Это так называемая :
В точке касательная к графику горизонтальна, и производная равна нулю. Однако до точки функция возрастала - и после точки продолжает возрастать. Знак производной не меняется - она как была положительной, так и осталась.
Бывает и так, что в точке максимума или минимума производная не существует. На графике это соответствует резкому излому, когда касательную в данной точке провести невозможно.
А как найти производную, если функция задана не графиком, а формулой? В этом случае применяется
При решении различных задач геометрии, механики, физики и других отраслей знания возникла необходимость с помощью одного и того же аналитического процесса из данной функции y=f(x) получать новую функцию, которую называют производной функцией (или просто производной) данной функции f(x) и обозначают символом
Тот
процесс, с помощью которого из данной
функции f(x)
получают новую функцию f
" (x)
,
называют дифференцированием
и состоит он из следующих трех шагов:
1)
даем аргументу x
приращение
x
и определяем соответствующее приращение
функции
y
= f(x+
x)
-f(x)
;
2)
составляем отношение
3)
считая x
постоянным, а
x
0,
находим
,
который обозначаем черезf
" (x)
,
как бы подчеркивая тем самым, что
полученная функция зависит лишь от того
значения x
,
при котором мы переходим к
пределу.
Определение
:
Производной
y " =f " (x)
данной
функции y=f(x)
при
данном x
называется предел отношения приращения
функции к приращению аргумента при
условии, что приращение аргумента
стремится к нулю, если, конечно, этот
предел существует, т.е. конечен.
Таким
образом,
,
или
Заметим,
что если при некотором значении x
,
например при x=a
,
отношение
при
x
0
не стремится к конечному пределу, то в
этом случае говорят, что функция f(x)
при x=a
(или в точке x=a
)
не имеет производной или не дифференцируема
в точке x=a
.
2. Геометрический смысл производной.
Рассмотрим график функции у = f (х), дифференцируемой в окрестностях точки x 0
f(x)
Рассмотрим произвольную прямую, проходящую через точку графика функции - точку А(x 0 , f (х 0)) и пересекающую график в некоторой точке B(x;f(x)). Такая прямая (АВ) называется секущей. Из ∆АВС: АС = ∆x; ВС =∆у; tgβ=∆y/∆x .
Так как АС || Ox, то ALO = BAC = β (как соответственные при параллельных). Но ALO - это угол наклона секущей АВ к положительному направлению оси Ох. Значит, tgβ = k - угловой коэффициент прямой АВ.
Теперь будем уменьшать ∆х, т.е. ∆х→ 0. При этом точка В будет приближаться к точке А по графику, а секущая АВ будет поворачиваться. Предельным положением секущей АВ при ∆х→ 0 будет прямая (a), называемая касательной к графику функции у = f (х) в точке А.
Если
перейти к пределу при ∆х → 0 в равенстве
tgβ
=∆y/∆x,
то получим
илиtg
=f
"(x 0),
так как
-угол
наклона касательной к положительному
направлению оси Ох
,
по определению производной. Но tg
= k - угловой коэффициент касательной,
значит, k = tg
= f
"(x 0).
Итак, геометрический смысл производной заключается в следующем:
Производная функции в точке x 0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции, проведенной в точке с абсциссой x 0 .
3. Физический смысл производной.
Рассмотрим движение точки по прямой. Пусть задана координата точки в любой момент времени x(t). Известно (из курса физики), что средняя скорость за промежуток времени равна отношению расстояния, пройденного за этот промежуток времени, на время, т.е.
Vср = ∆x/∆t. Перейдем к пределу в последнем равенстве при ∆t → 0.
lim Vср (t) = (t 0) - мгновенная скорость в момент времени t 0 , ∆t → 0.
а lim = ∆x/∆t = x"(t 0) (по определению производной).
Итак, (t) =x"(t).
Физический смысл производной заключается в следующем: производная функции y = f (x ) в точке x 0 - это скорость изменения функции f (х) в точке x 0
Производная применяется в физике для нахождения скорости по известной функции координаты от времени, ускорения по известной функции скорости от времени.
(t) = x"(t) - скорость,
a(f) = "(t) - ускорение, или
Если известен закон движения материальной точки по окружности, то можно найти угловую скорость и угловое ускорение при вращательном движении:
φ = φ(t) - изменение угла от времени,
ω = φ"(t) - угловая скорость,
ε = φ"(t) - угловое ускорение, или ε = φ"(t).
Если известен закон распределения массы неоднородного стержня, то можно найти линейную плотность неоднородного стержня:
m = m(х) - масса,
x , l - длина стержня,
р = m"(х) - линейная плотность.
С помощью производной решаются задачи из теории упругости и гармонических колебаний. Так, по закону Гука
F = -kx, x – переменная координата, k- коэффициент упругости пружины. Положив ω 2 =k/m, получим дифференциальное уравнение пружинного маятника х"(t) + ω 2 x(t) = 0,
где ω = √k/√m частота колебаний (l/c), k - жесткость пружины (H/m).
Уравнение вида у" + ω 2 y = 0 называется уравнением гармонических колебаний (механических, электрических, электромагнитных). Решением таких уравнений является функция
у = Asin(ωt + φ 0) или у = Acos(ωt + φ 0), где
А - амплитуда колебаний, ω - циклическая частота,
φ 0 - начальная фаза.
Загрузка...
