Demonstrarea teoremei lui Pitagora în termeni de triunghiuri similare. Mai multe moduri de a demonstra teorema lui Pitagora. Ordinul monahal secret

Poveste

Chu-pei 500-200 î.Hr. În stânga este inscripția: suma pătratelor lungimilor înălțimii și baza este pătratul lungimii ipotenuzei.

În cartea antică chineză Chu-pei ( Engleză) (chineză 周髀算經) vorbește despre un triunghi pitagoreic cu laturile 3, 4 și 5. În aceeași carte este propus un desen care coincide cu unul dintre desenele geometriei hinduse a lui Bashara.

În jurul anului 400 î.Hr. e., conform lui Proclu, Platon a dat o metodă de găsire a triplelor pitagoreice, combinând algebra și geometria. În jurul anului 300 î.Hr. e. Elementele lui Euclid conțin cea mai veche demonstrație axiomatică a teoremei lui Pitagora.

Cuvântare

Formulare geometrică:

Teorema a fost formulată inițial după cum urmează:

Formulare algebrică:

Adică, indicând lungimea ipotenuzei triunghiului prin și lungimile catetelor prin și:

Ambele formulări ale teoremei sunt echivalente, dar a doua formulare este mai elementară, nu necesită conceptul de zonă. Adică, a doua afirmație poate fi verificată fără a ști nimic despre zonă și măsurând doar lungimile laturilor unui triunghi dreptunghic.

Teorema inversă a lui Pitagora:

Pentru orice triplu de numere pozitive , și , astfel încât , există un triunghi dreptunghic cu catete și și ipotenuză .

Dovada de

În prezent, 367 de dovezi ale acestei teoreme au fost înregistrate în literatura științifică. Probabil, teorema lui Pitagora este singura teoremă cu un număr atât de impresionant de demonstrații. O astfel de varietate poate fi explicată doar prin semnificația fundamentală a teoremei pentru geometrie.

Desigur, din punct de vedere conceptual, toate pot fi împărțite într-un număr mic de clase. Cele mai cunoscute dintre ele: dovezi prin metoda zonei, dovezi axiomatice și exotice (de exemplu, folosind ecuații diferențiale).

Prin triunghiuri asemănătoare

Următoarea demonstrație a formulării algebrice este cea mai simplă dintre dovezile construite direct din axiome. În special, nu folosește conceptul de zonă a figurii.

Lasa ABC există un triunghi dreptunghic C. Să desenăm o înălțime de la Cși notează-i baza prin H. Triunghi ACH asemănător cu un triunghi ABC la două colţuri. La fel, triunghiul CBH asemănătoare ABC. Introducerea notației

primim

Ce este echivalent

Adăugând, primim

, ceea ce urma să fie dovedit

Dovezi de zonă

Următoarele dovezi, în ciuda aparentei lor simplități, nu sunt deloc atât de simple. Toate folosesc proprietățile zonei, a cărei demonstrație este mai complicată decât demonstrarea teoremei lui Pitagora în sine.

Dovada prin echivalență

Aranjați patru triunghiuri dreptunghiulare egale așa cum se arată în figura 1.
Cadrilater cu laturi c este un pătrat deoarece suma a două unghiuri ascuțite este de 90°, iar unghiul drept este de 180°.
Aria întregii figuri este egală, pe de o parte, cu aria unui pătrat cu o latură (a + b), iar pe de altă parte, suma ariilor a patru triunghiuri și aria a pătratului interior.

Q.E.D.

Dovada lui Euclid

Ideea demonstrației lui Euclid este următoarea: să încercăm să demonstrăm că jumătate din aria pătratului construit pe ipotenuză este egală cu suma jumătăților ariilor pătratelor construite pe catete, iar apoi ariile de pătratele mari și cele două pătrate mici sunt egale.

Luați în considerare desenul din stânga. Pe el, am construit pătrate pe laturile unui triunghi dreptunghic și am desenat o rază s din vârful unghiului drept C perpendicular pe ipotenuza AB, ea taie pătratul ABIK, construit pe ipotenuză, în două dreptunghiuri - BHJI și HAKJ, respectiv. Se pare că ariile acestor dreptunghiuri sunt exact egale cu ariile pătratelor construite pe picioarele corespunzătoare.

Să încercăm să demonstrăm că aria pătratului DECA este egală cu aria dreptunghiului AHJK Pentru a face acest lucru, folosim o observație auxiliară: aria unui triunghi cu aceeași înălțime și bază ca și cea dată. dreptunghiul este egal cu jumătate din aria dreptunghiului dat. Aceasta este o consecință a definirii ariei unui triunghi ca jumătate din produsul bazei și înălțimii. Din această observație rezultă că aria triunghiului ACK este egală cu aria triunghiului AHK (neprezentată), care, la rândul său, este egală cu jumătate din aria dreptunghiului AHJK.

Să demonstrăm acum că aria triunghiului ACK este, de asemenea, egală cu jumătate din aria pătratului DECA. Singurul lucru care trebuie făcut pentru aceasta este să demonstrați egalitatea triunghiurilor ACK și BDA (deoarece aria triunghiului BDA este egală cu jumătate din aria pătratului de proprietatea de mai sus). Această egalitate este evidentă: triunghiurile sunt egale în două laturi și unghiul dintre ele. Și anume - AB=AK, AD=AC - egalitatea unghiurilor CAK și BAD este ușor de demonstrat prin metoda mișcării: să rotim triunghiul CAK cu 90° în sens invers acelor de ceasornic, atunci este evident că laturile corespunzătoare ale celor două triunghiuri considerate vor coincide (datorită faptului că unghiul la vârful pătratului este de 90°).

Argumentul despre egalitatea ariilor pătratului BCFG și dreptunghiului BHJI este complet analog.

Astfel, am demonstrat că aria pătratului construit pe ipotenuză este suma ariilor pătratelor construite pe catete. Ideea din spatele acestei dovezi este ilustrată în continuare cu animația de mai sus.

Dovada lui Leonardo da Vinci

Elementele principale ale demonstrației sunt simetria și mișcarea.

Luați în considerare desenul, după cum se poate vedea din simetrie, segmentul taie pătratul în două părți identice (deoarece triunghiurile și sunt egale în construcție).

Folosind o rotire în sens invers acelor de ceasornic de 90 de grade în jurul punctului , vedem egalitatea figurilor umbrite și .

Acum este clar că aria figurii pe care am umbrit-o este egală cu suma a jumătate din ariile pătratelor mici (construite pe picioare) și aria triunghiului original. Pe de altă parte, este egal cu jumătate din aria pătratului mare (construit pe ipotenuză) plus aria triunghiului original. Astfel, jumătate din suma ariilor pătratelor mici este egală cu jumătate din aria pătratului mare și, prin urmare, suma ariilor pătratelor construite pe picioare este egală cu aria pătratului construit pe ipotenuză.

Dovada prin metoda infinitezimală

Următoarea demonstrație folosind ecuații diferențiale este adesea atribuită celebrului matematician englez Hardy, care a trăit în prima jumătate a secolului al XX-lea.

Luând în considerare desenul prezentat în figură și observând schimbarea laturii A, putem scrie următoarea relație pentru incremente infinitezimale cuși A(folosind triunghiuri similare):

Folosind metoda separării variabilelor, găsim

O expresie mai generală pentru schimbarea ipotenuzei în cazul creșterilor ambelor catete

Integrând această ecuație și folosind condițiile inițiale, obținem

Astfel, ajungem la răspunsul dorit

Este ușor de observat că dependența pătratică în formula finală apare datorită proporționalității liniare dintre laturile triunghiului și incremente, în timp ce suma se datorează contribuțiilor independente din incrementul diferitelor catete.

O dovadă mai simplă poate fi obținută dacă presupunem că unul dintre picioare nu experimentează o creștere (în acest caz, piciorul). Apoi pentru constanta de integrare obținem

Variații și generalizări

Forme geometrice similare pe trei laturi

Generalizare pentru triunghiuri similare, aria figurilor verzi A + B = aria albastrei C

Teorema lui Pitagora folosind triunghiuri dreptunghice similare

O generalizare a teoremei lui Pitagora a fost făcută de Euclid în lucrarea sa Începuturile, extinzând zonele pătratelor de pe laturi la zonele de forme geometrice similare:

Dacă construim figuri geometrice similare (vezi geometria euclidiană) pe laturile unui triunghi dreptunghic, atunci suma celor două figuri mai mici va fi egală cu aria figurii mai mari.

Ideea principală a acestei generalizări este că aria unei astfel de figuri geometrice este proporțională cu pătratul oricăreia dintre dimensiunile sale liniare și, în special, cu pătratul lungimii oricărei laturi. Prin urmare, pentru cifre similare cu zone A, Bși C construit pe laturi cu lungime A, bși c, noi avem:

Dar, conform teoremei lui Pitagora, A 2 + b 2 = c 2, atunci A + B = C.

În schimb, dacă putem demonstra asta A + B = C pentru trei figuri geometrice similare fără a folosi teorema lui Pitagora, atunci putem demonstra teorema însăși, mișcându-se în direcția opusă. De exemplu, triunghiul central de pornire poate fi reutilizat ca triunghi C pe ipotenuză și două triunghiuri dreptunghiulare asemănătoare ( Ași B) construite pe celelalte două laturi, care se formează ca urmare a împărțirii triunghiului central la înălțimea acestuia. Suma celor două arii mai mici ale triunghiurilor este atunci în mod evident egală cu aria celui de-al treilea, astfel A + B = C iar, efectuând demonstrațiile anterioare în ordine inversă, obținem teorema lui Pitagora a 2 + b 2 = c 2 .

Teorema cosinusului

Teorema lui Pitagora este un caz special al teoremei cosinusului mai generală care raportează lungimile laturilor dintr-un triunghi arbitrar:

unde θ este unghiul dintre laturi Ași b.

Dacă θ este de 90 de grade atunci cos θ = 0 și formula este simplificată la teorema obișnuită a lui Pitagora.

Triunghi arbitrar

La orice colț ales al unui triunghi arbitrar cu laturi a, b, cînscriem un triunghi isoscel în așa fel încât unghiurile egale la baza lui θ să fie egale cu unghiul ales. Să presupunem că unghiul θ ales este situat opus laturii indicate c. Ca rezultat, am obținut un triunghi ABD cu unghi θ, care este situat opus laturii A si petreceri r. Al doilea triunghi este format din unghiul θ, care este opus laturii b si petreceri cu lung s, așa cum se arată în imagine. Thabit Ibn Qurra a declarat că laturile acestor trei triunghiuri sunt legate după cum urmează:

Pe măsură ce unghiul θ se apropie de π/2, baza triunghiului isoscel scade și cele două laturi r și s se suprapun din ce în ce mai puțin. Când θ = π/2, ADB se transformă într-un triunghi dreptunghic, r + s = cși obținem teorema inițială a lui Pitagora.

Să ne uităm la unul dintre argumente. Triunghiul ABC are aceleași unghiuri ca și triunghiul ABD, dar în ordine inversă. (Cele două triunghiuri au un unghi comun la vârful B, ambele au unghi θ și, de asemenea, au același al treilea unghi, prin suma unghiurilor triunghiului) Prin urmare, ABC este similar cu reflexia ABD a triunghiului DBA, așa cum se arată în figura de jos. Să scriem relația dintre laturile opuse și cele adiacente unghiului θ,

La fel și reflexia unui alt triunghi,

Înmulțiți fracțiile și adăugați aceste două rapoarte:

Q.E.D.

Generalizare pentru triunghiuri arbitrare prin paralelograme

Generalizare pentru triunghiuri arbitrare,
zona verde plot = suprafata albastru

Dovada tezei că în figura de mai sus

Să facem o generalizare suplimentară pentru triunghiuri nedreptunghiulare, folosind paralelograme pe trei laturi în loc de pătrate. (pătratele sunt un caz special.) Figura de sus arată că, pentru un triunghi ascuțit, aria paralelogramului de pe latura lungă este egală cu suma paralelogramelor de pe celelalte două laturi, cu condiția ca paralelogramul de pe partea lungă. latura este construită așa cum se arată în figură (dimensiunile marcate cu săgeți sunt aceleași și determină laturile paralelogramului inferior). Această înlocuire a pătratelor cu paralelograme are o asemănare clară cu teorema inițială a lui Pitagora și se crede că a fost formulată de Pappus din Alexandria în anul 4 CE. e.

Figura de jos arată progresul dovezii. Să ne uităm la partea stângă a triunghiului. Paralelogramul verde din stânga are aceeași zonă cu partea stângă a paralelogramului albastru deoarece au aceeași bază b si inaltime h. De asemenea, caseta verde din stânga are aceeași zonă ca și caseta verde din stânga din imaginea de sus, deoarece au o bază comună (partea stângă sus a triunghiului) și o înălțime comună perpendiculară pe acea parte a triunghiului. Argumentând în mod similar pentru partea dreaptă a triunghiului, demonstrăm că paralelogramul inferior are aceeași zonă cu cele două paralelograme verzi.

Numere complexe

Teorema lui Pitagora este folosită pentru a găsi distanța dintre două puncte dintr-un sistem de coordonate carteziene, iar această teoremă este valabilă pentru toate coordonatele adevărate: distanța s intre doua puncte ( a, b) și ( c, d) egal

Nu există probleme cu formula dacă numerele complexe sunt tratate ca vectori cu componente reale X + eu y = (X, y). . De exemplu, distanța s intre 0 + 1 iși 1 + 0 i se calculează ca modul de vector (0, 1) − (1, 0) = (−1, 1), sau

Cu toate acestea, pentru operațiile cu vectori cu coordonate complexe, este necesar să se facă o anumită îmbunătățire a formulei lui Pitagora. Distanța dintre punctele cu numere complexe ( A, b) și ( c, d); A, b, c, și d toate complexe, formulăm folosind valori absolute. Distanţă s bazată pe diferența vectorială (A − c, b − d) în următoarea formă: lasă diferenţa A − c = p+i q, Unde p este partea reală a diferenței, q este partea imaginară și i = √(−1). La fel, lasă b − d = r+i s. Apoi:

unde este conjugatul complex al lui . De exemplu, distanța dintre puncte (A, b) = (0, 1) și (c, d) = (i, 0) , calculați diferența (A − c, b − d) = (−i, 1) iar rezultatul ar fi 0 dacă nu s-ar folosi conjugate complexe. Prin urmare, folosind formula îmbunătățită, obținem

Modulul este definit astfel:

Stereometrie

O generalizare semnificativă a teoremei lui Pitagora pentru spațiul tridimensional este teorema lui de Gua, numită după J.-P. de Gua: dacă un tetraedru are un unghi drept (ca într-un cub), atunci pătratul ariei feței opus unghiului drept este egal cu suma pătratelor ariilor celorlalte trei fețe. Această concluzie poate fi rezumată ca „ n Teorema lui Pitagora dimensională":

Teorema lui Pitagora în trei dimensiuni raportează diagonala AD de trei laturi.

O altă generalizare: Teorema lui Pitagora poate fi aplicată stereometriei în următoarea formă. Luați în considerare o cutie dreptunghiulară, așa cum se arată în figură. Aflați lungimea diagonalei BD folosind teorema lui Pitagora:

unde trei laturi formează un triunghi dreptunghic. Utilizați diagonala orizontală BD și muchia verticală AB pentru a găsi lungimea diagonalei AD, folosind din nou teorema lui Pitagora:

sau, dacă totul este scris într-o singură ecuație:

Acest rezultat este o expresie 3D pentru determinarea mărimii vectorului v(diagonala AD) exprimată în termenii componentelor sale perpendiculare ( v k) (trei laturi reciproc perpendiculare):

Această ecuație poate fi privită ca o generalizare a teoremei lui Pitagora pentru un spațiu multidimensional. Cu toate acestea, rezultatul nu este de fapt altceva decât aplicarea repetată a teoremei lui Pitagora la o succesiune de triunghiuri dreptunghiulare în planuri succesiv perpendiculare.

spațiu vectorial

În cazul unui sistem ortogonal de vectori, are loc o egalitate, care se mai numește și teorema lui Pitagora:

Dacă - acestea sunt proiecții ale vectorului pe axele de coordonate, atunci această formulă coincide cu distanța euclidiană - și înseamnă că lungimea vectorului este egală cu rădăcina pătrată a sumei pătratelor componentelor sale.

Analogul acestei egalități în cazul unui sistem infinit de vectori se numește egalitatea lui Parseval.

Geometrie non-euclidiană

Teorema lui Pitagora este derivată din axiomele geometriei euclidiene și, de fapt, nu este valabilă pentru geometria non-euclidiană, în forma în care este scrisă mai sus. (Adică teorema lui Pitagora se dovedește a fi un fel de echivalent cu postulatul de paralelism al lui Euclid) Cu alte cuvinte, în geometria non-euclidiană, raportul dintre laturile triunghiului va fi neapărat într-o formă diferită de teorema lui Pitagora . De exemplu, în geometria sferică, toate cele trei laturi ale unui triunghi dreptunghic (să zicem A, bși c) care lega octantul (o optime) din sfera unității au lungimea π/2, ceea ce contrazice teorema lui Pitagora deoarece A 2 + b 2 ≠ c 2 .

Considerăm aici două cazuri de geometrie non-euclidiană - geometrie sferică și hiperbolică; în ambele cazuri, ca și pentru spațiul euclidian pentru triunghiuri dreptunghic, rezultatul care înlocuiește teorema lui Pitagora rezultă din teorema cosinusului.

Cu toate acestea, teorema lui Pitagora rămâne valabilă pentru geometria hiperbolică și eliptică dacă cerința ca triunghiul să fie dreptunghic este înlocuită cu condiția ca suma a două unghiuri ale triunghiului să fie egală cu al treilea, să spunem A+B = C. Atunci raportul dintre laturi arată astfel: suma ariilor cercurilor cu diametre Ași b egală cu aria unui cerc cu un diametru c.

geometrie sferică

Pentru orice triunghi dreptunghic pe o sferă cu rază R(de exemplu, dacă unghiul γ din triunghi este drept) cu laturile A, b, c relația dintre părți va arăta astfel:

Această egalitate poate fi derivată ca un caz special al teoremei cosinusului sferic, care este valabilă pentru toate triunghiurile sferice:

unde cosh este cosinusul hiperbolic. Această formulă este un caz special al teoremei cosinusului hiperbolic, care este valabilă pentru toate triunghiurile:

unde γ este unghiul al cărui vârf este opus laturii c.

Unde g ij se numește tensor metric. Poate fi o funcție de poziție. Astfel de spații curbilinie includ geometria riemanniană ca exemplu comun. Această formulare este, de asemenea, potrivită pentru spațiul euclidian când se utilizează coordonate curbilinie. De exemplu, pentru coordonatele polare:

produs vectorial

Teorema lui Pitagora conectează două expresii pentru mărimea unui produs vectorial. O abordare a definirii unui produs încrucișat necesită ca acesta să satisfacă ecuația:

această formulă folosește produsul punctual. Partea dreaptă a ecuației se numește determinantul lui Gram pentru Ași b, care este egală cu aria paralelogramului format din acești doi vectori. Pe baza acestei cerințe, precum și a cerinței ca produsul vectorial să fie perpendicular pe componentele sale Ași b rezultă că, cu excepția cazurilor banale de spațiu 0 și 1-dimensional, produsul vectorial este definit doar în trei și șapte dimensiuni. Folosim definiția unghiului în n-spațiu dimensional:

această proprietate a produsului vectorial dă valoarea sa în următoarea formă:

Prin identitatea trigonometrică fundamentală a lui Pitagora, obținem o altă formă de scriere a valorii acesteia:

O abordare alternativă pentru definirea unui produs încrucișat folosește o expresie pentru amploarea acestuia. Apoi, argumentând în ordine inversă, obținem o conexiune cu produsul scalar:

Vezi si

Note

Subiect de istorie: teorema lui Pitagora în matematica babiloniană
( , p. 351) p. 351
( , Vol I, p. 144)
O discuție despre fapte istorice este dată în (, p. 351) p. 351
Kurt Von Fritz (apr. 1945). „Descoperirea incomensurabilității de către Hippasus din Metapontum”. Analele matematicii, seria a doua(Analele matematicii) 46 (2): 242–264.
Lewis Carroll, „Povestea cu noduri”, M., Mir, 1985, p. 7
Asger Aaboe Episoade din istoria timpurie a matematicii. - Mathematical Association of America, 1997. - P. 51. - ISBN 0883856131
Propunerea lui Pitagora de Elisha Scott Loomis
a lui Euclid Elemente: Cartea a VI-a, Propunerea VI 31: „În triunghiuri dreptunghiulare figura de pe latura care subtinde unghiul drept este egală cu figurile similare și descrise în mod similar de pe laturile care conțin unghiul drept”.
Lawrence S. Leff lucrare citată. - Seria educațională a lui Barron.- P. 326. - ISBN 0764128922
Howard Whitley Eves§4.8:...generalizarea teoremei lui Pitagora // Momente mari în matematică (înainte de 1650) . - Mathematical Association of America, 1983. - P. 41. - ISBN 0883853108
Tâbit ibn Qorra (nume complet Thābit ibn Qurra ibn Marwan Al-Ṣābiʾ al-Ḥarrānī) (826-901 d.Hr.) a fost un medic care trăia la Bagdad care a scris pe larg despre Elementele lui Euclid și alte subiecte matematice.
Aydin Sayili (mar. 1960). „Generalizarea teoremei lui Pitagora a lui Thâbit ibn Qurra”. Isis 51 (1): 35–37. DOI:10.1086/348837.
Judith D. Sally, Paul Sally Exercițiul 2.10(ii) // Lucrare citată . - P. 62. - ISBN 0821844032
Pentru detaliile unei astfel de construcții, vezi George Jennings Figura 1.32: Teorema generalizată a lui Pitagora // Geometrie modernă cu aplicații: cu 150 de figuri . - al 3-lea. - Springer, 1997. - P. 23. - ISBN 038794222X
Arlen Brown, Carl M. Pearcy articol C: Normă pentru un arbitrar n-tuple ... // O introducere în analiză . - Springer, 1995. - P. 124. - ISBN 0387943692 Vezi și paginile 47-50.
Alfred Gray, Elsa Abbena, Simon Salamon Geometrie diferențială modernă a curbelor și suprafețelor cu Mathematica. - al 3-lea. - CRC Press, 2006. - P. 194. - ISBN 1584884487
Rajendra Bhatia analiza matriceală. - Springer, 1997. - P. 21. - ISBN 0387948465
Stephen W. Hawking lucrare citată. - 2005. - P. 4. - ISBN 0762419229

teorema lui Pitagora: Suma ariilor pătratelor susținute de picioare ( Ași b), este egală cu aria pătratului construit pe ipotenuză ( c).

Formulare geometrică:

Teorema a fost formulată inițial după cum urmează:

Formulare algebrică:

Adică indicând lungimea ipotenuzei triunghiului prin c, iar lungimile picioarelor prin Ași b :

A 2 + b 2 = c 2

Teorema inversă a lui Pitagora:

Dovada de

Prin triunghiuri asemănătoare

Următoarea demonstrație a formulării algebrice este cea mai simplă dintre dovezile construite direct din axiome. În special, nu folosește conceptul de zonă a figurii.

primim

Ce este echivalent

Adăugând, primim

Dovezi de zonă

Dovada prin echivalență

Aranjați patru triunghiuri dreptunghiulare egale așa cum se arată în figura 1.
Cadrilater cu laturi c este un pătrat deoarece suma a două unghiuri ascuțite este de 90°, iar unghiul drept este de 180°.
Aria întregii figuri este egală, pe de o parte, cu aria unui pătrat cu o latură (a + b), iar pe de altă parte, suma ariilor a patru triunghiuri și două interioare pătrate.

Q.E.D.

Dovezi prin echivalență

O dovadă elegantă de permutare

Un exemplu de una dintre aceste dovezi este prezentat în desenul din dreapta, unde pătratul construit pe ipotenuză este convertit prin permutare în două pătrate construite pe catete.

Dovada lui Euclid

Desen pentru demonstrația lui Euclid

Ilustrație pentru demonstrația lui Euclid

Să demonstrăm acum că aria triunghiului ACK este, de asemenea, egală cu jumătate din aria pătratului DECA. Singurul lucru care trebuie făcut pentru aceasta este să dovediți egalitatea triunghiurilor ACK și BDA (deoarece aria triunghiului BDA este egală cu jumătate din aria pătratului de proprietatea de mai sus). Această egalitate este evidentă, triunghiurile sunt egale în două laturi și unghiul dintre ele. Și anume - AB=AK,AD=AC - egalitatea unghiurilor CAK și BAD este ușor de demonstrat prin metoda mișcării: să rotim triunghiul CAK cu 90° în sens invers acelor de ceasornic, atunci este evident că laturile corespunzătoare celor două triunghiuri considerate va coincide (datorită faptului că unghiul la vârful pătratului este de 90°).

Argumentul despre egalitatea ariilor pătratului BCFG și dreptunghiului BHJI este complet analog.

Dovada lui Leonardo da Vinci

Elementele principale ale demonstrației sunt simetria și mișcarea.

Luați în considerare desenul, așa cum se poate vedea din simetrie, segmentul Ceu disecă pătratul ABHJ în două părți identice (deoarece triunghiuri ABCși JHeu sunt egale în construcție). Folosind o rotație de 90 de grade în sens invers acelor de ceasornic, vedem egalitatea figurilor umbrite CAJeu și GDAB . Acum este clar că aria figurii umbrite de noi este egală cu suma a jumătate din suprafețele pătratelor construite pe picioare și aria triunghiului original. Pe de altă parte, este egal cu jumătate din aria pătratului construit pe ipotenuză, plus aria triunghiului original. Ultimul pas în demonstrație este lăsat cititorului.

Dovada prin metoda infinitezimală

Următoarea demonstrație folosind ecuații diferențiale este adesea atribuită celebrului matematician englez Hardy, care a trăit în prima jumătate a secolului al XX-lea.

Luând în considerare desenul prezentat în figură și observând schimbarea laturii A, putem scrie următoarea relație pentru incremente infinitezimale cuși A(folosind triunghiuri similare):

Dovada prin metoda infinitezimală

Folosind metoda separării variabilelor, găsim

O expresie mai generală pentru schimbarea ipotenuzei în cazul creșterilor ambelor catete

Integrând această ecuație și folosind condițiile inițiale, obținem

c 2 = A 2 + b 2 + constantă.

Astfel, ajungem la răspunsul dorit

c 2 = A 2 + b 2 .

O dovadă mai simplă poate fi obținută dacă presupunem că unul dintre picioare nu experimentează o creștere (în acest caz, piciorul b). Apoi pentru constanta de integrare obținem

Variații și generalizări

Dacă, în loc de pătrate, alte figuri similare sunt construite pe picioare, atunci următoarea generalizare a teoremei lui Pitagora este adevărată: Într-un triunghi dreptunghic, suma ariilor figurilor similare construite pe catete este egală cu aria figurii construite pe ipotenuză.În special:
- Suma ariilor triunghiurilor regulate construite pe catete este egală cu aria unui triunghi regulat construit pe ipotenuză.
- Suma ariilor semicercurilor construite pe picioare (ca și pe diametru) este egală cu aria semicercului construit pe ipotenuză. Acest exemplu este folosit pentru a demonstra proprietățile figurilor delimitate de arce de două cercuri și care poartă numele de lunula hipocratică.

Poveste

Chu-pei 500–200 î.Hr. În stânga este inscripția: suma pătratelor lungimilor înălțimii și baza este pătratul lungimii ipotenuzei.

Cartea antică chineză Chu-pei vorbește despre un triunghi pitagoreic cu laturile 3, 4 și 5: În aceeași carte, este propus un desen care coincide cu unul dintre desenele geometriei hinduse a lui Baskhara.

Kantor (cel mai mare istoric german al matematicii) crede că egalitatea 3² + 4² = 5² era deja cunoscută egiptenilor în jurul anului 2300 î.Hr. e., pe vremea regelui Amenemhet I (conform papirusului 6619 al Muzeului din Berlin). Potrivit lui Cantor, harpedonapții, sau „stringers”, construiau unghiuri drepte folosind triunghiuri dreptunghiulare cu laturile 3, 4 și 5.

Este foarte ușor să reproduci metoda lor de construcție. Luați o frânghie de 12 m lungime și legați-o de ea de-a lungul unei benzi colorate la o distanță de 3 m. de la un capăt și la 4 metri de celălalt. Un unghi drept va fi închis între laturile de 3 și 4 metri lungime. S-ar putea obiecta la Harpedonapts că metoda lor de construcție devine redundantă dacă se folosește, de exemplu, pătratul de lemn folosit de toți dulgherii. Într-adevăr, se cunosc desene egiptene în care se găsește un astfel de instrument, de exemplu, desene înfățișând un atelier de tâmplărie.

Se cunosc ceva mai multe despre teorema lui Pitagora la babilonieni. Într-un text datând din timpul lui Hammurabi, adică din anul 2000 î.Hr. e., se dă un calcul aproximativ al ipotenuzei unui triunghi dreptunghic. Din aceasta putem concluziona că în Mesopotamia au fost capabili să efectueze calcule cu triunghiuri dreptunghiulare, cel puțin în unele cazuri. Bazându-se, pe de o parte, pe nivelul actual de cunoștințe despre matematica egipteană și babiloniană, iar pe de altă parte, pe un studiu critic al surselor grecești, Van der Waerden (un matematician olandez) a concluzionat următoarele:

Literatură

In rusa

Skopets Z. A. Miniaturi geometrice. M., 1990
Yelensky Sh. Pe urmele lui Pitagora. M., 1961
Van der Waerden B.L. Trezirea Științei. Matematica Egiptului Antic, Babilonului și Greciei. M., 1959
Glazer G.I. Istoria matematicii la scoala. M., 1982
W. Litzman, „Teorema lui Pitagora” M., 1960.
- Un site despre teorema lui Pitagora cu un număr mare de dovezi, materialul este preluat din cartea lui W. Litzman, un număr mare de desene sunt prezentate ca fișiere grafice separate.
Teorema lui Pitagora și capitolul triplelor lui Pitagora din cartea lui D. V. Anosov „O privire asupra matematicii și ceva din ea”
Despre teorema lui Pitagora și metodele demonstrației sale G. Glaser, Academician al Academiei Ruse de Educație, Moscova

În limba engleză

Teorema lui Pitagora la WolframMathWorld
Cut-The-Knot, secțiune despre teorema lui Pitagora, aproximativ 70 de dovezi și informații suplimentare extinse (ing.)

Fundația Wikimedia. 2010 .

Cu toate acestea, numele este primit în onoarea omului de știință doar pentru motivul că el este prima și chiar singura persoană care a putut demonstra teorema.

Istoricul german al matematicii Kantor a susținut că teorema era deja cunoscută egiptenilor în jurul anului 2300 î.Hr. e. El credea că unghiurile drepte erau construite datorită triunghiurilor dreptunghiulare cu laturile 3, 4 și 5.

Celebrul om de știință Kepler a spus că geometria are o comoară de neînlocuit - aceasta este teorema lui Pitagora, datorită căreia este posibil să derivăm majoritatea teoremelor din geometrie.

Anterior, teorema lui Pitagora era numită „teorema miresei” sau „teorema nimfei”. Și chestia este că desenul ei semăna foarte mult cu un fluture sau cu o nimfă. Arabii, când au tradus textul teoremei, au decis că nimfa înseamnă mireasa. Așa a apărut denumirea interesantă a teoremei.

Teorema lui Pitagora, formula

Teorema

- într-un triunghi dreptunghic, suma pătratelor catetelor () este egală cu pătratul ipotenuzei (). Aceasta este una dintre teoremele fundamentale ale geometriei euclidiene.

Formulă:

După cum sa menționat deja, există multe dovezi diferite ale teoremei cu abordări matematice versatile. Cu toate acestea, teoremele ariei sunt mai frecvent utilizate.

Construiți pătrate pe triunghi ( albastru, verde, roșu)

Adică, suma ariilor pătratelor construite pe picioare este egală cu aria pătratului construit pe ipotenuză. În consecință, ariile acestor pătrate sunt egale -. Aceasta este explicația geometrică a lui Pitagora.

Demonstrarea teoremei prin metoda ariei: 1 cale

Să demonstrăm că.

Considerăm același triunghi cu catetele a, b și ipotenuza c.

Completam triunghiul dreptunghic pana la un patrat. De la piciorul „a” continuăm linia până la distanța piciorului „b” (linia roșie).
Apoi, desenăm linia noului picior „a” la dreapta (linia verde).
Conectăm două catete cu ipotenuza „c”.

Se dovedește același triunghi, doar inversat.

În mod similar, construim pe cealaltă parte: de la piciorul „a” trasăm linia piciorului „b” și în jos „a” și „b” Și de la partea de jos a piciorului „b” trasăm linia piciorului „b”. piciorul „a”. În centrul fiecărui catete, a fost desenată o ipotenuză „c”. Astfel, ipotenuzele au format un pătrat în centru.

Acest pătrat este format din 4 triunghiuri identice. Și aria fiecărui triunghi dreptunghic = jumătate din produsul catetelor sale. Respectiv, . Și aria pătratului din centru = , deoarece toate cele 4 ipotenuze au laturi. Laturile unui patrulater sunt egale, iar unghiurile sunt drepte. Cum putem demonstra că unghiurile sunt corecte? Foarte simplu. Să luăm același pătrat:

Știm că cele două unghiuri prezentate în figură sunt de 90 de grade. Deoarece triunghiurile sunt egale, atunci următorul unghi al catetei „b” este egal cu piciorul anterior „b”:

Suma acestor două unghiuri = 90 de grade. În consecință, unghiul anterior este, de asemenea, de 90 de grade. Desigur, același lucru este valabil și pe cealaltă parte. În consecință, avem într-adevăr un pătrat cu unghiuri drepte.

Deoarece unghiurile ascuțite ale unui triunghi dreptunghic sunt în total 90 de grade, unghiul patrulaterului va fi și el de 90 de grade, deoarece 3 unghiuri în total = 180 de grade.

În consecință, aria unui pătrat este formată din patru zone de triunghiuri dreptunghiulare identice și aria pătratului, care este formată din ipotenuze.

Astfel, avem un pătrat cu latura . Știm că aria unui pătrat cu o latură este pătratul laturii sale. i.e . Acest pătrat este format din patru triunghiuri identice.

Și asta înseamnă că am demonstrat teorema lui Pitagora.

IMPORTANT!!! Dacă găsim ipotenuza, atunci adăugăm două catete și apoi obținem răspunsul de la rădăcină. Când găsiți unul dintre catete: din pătratul lungimii celui de-al doilea catete, scădeți pătratul lungimii ipotenuzei și găsiți rădăcina pătrată.

Exemple de rezolvare a problemelor

Exemplul 1

Sarcină

Dat: un triunghi dreptunghic cu catetele 4 și 5.

Aflați ipotenuza. Atâta timp cât îl notăm cu

Decizie

Suma pătratelor catetelor este egală cu pătratul ipotenuzei. În cazul nostru - .

Să folosim teorema lui Pitagora:

Deci, a. Picioarele însumează 41.

Apoi . Deci pătratul ipotenuzei este 41.

Pătratul numărului 41 = 6,4.

Am găsit ipotenuza.

Răspuns

Hipotenuza = 6,4

Un lucru de care poți fi sigur sută la sută, că la întrebarea care este pătratul ipotenuzei, orice adult va răspunde cu îndrăzneală: „Suma pătratelor picioarelor”. Această teoremă este ferm plantată în mintea fiecărei persoane educate, dar este suficient doar să ceri cuiva să o demonstreze și atunci pot apărea dificultăți. Prin urmare, să ne amintim și să luăm în considerare diferite moduri de a demonstra teorema lui Pitagora.

Scurtă prezentare a biografiei

Teorema lui Pitagora este familiară aproape tuturor, dar din anumite motive biografia persoanei care a produs-o nu este atât de populară. O vom repara. Prin urmare, înainte de a studia diferitele modalități de a demonstra teorema lui Pitagora, trebuie să vă familiarizați pe scurt cu personalitatea sa.

Pitagora - un filozof, matematician, gânditor de astăzi este foarte greu să-i deosebești biografia de legendele care s-au dezvoltat în memoria acestui mare om. Dar, după cum reiese din scrierile adepților săi, Pitagora din Samos s-a născut pe insula Samos. Tatăl său era un tăietor de pietre obișnuit, dar mama lui provenea dintr-o familie nobilă.

Potrivit legendei, nașterea lui Pitagora a fost prezisă de o femeie pe nume Pythia, în cinstea căreia băiatul a fost numit. Conform predicției ei, un băiat născut avea să aducă multe beneficii și bine omenirii. Ceea ce a făcut de fapt.

Nașterea unei teoreme

În tinerețe, Pitagora s-a mutat în Egipt pentru a-i întâlni pe celebrii înțelepți egipteni de acolo. După întâlnirea cu ei, a fost admis la studii, unde a învățat toate marile realizări ale filozofiei, matematicii și medicinei egiptene.

Probabil, în Egipt, Pitagora a fost inspirat de măreția și frumusețea piramidelor și a creat marea sa teorie. Acest lucru poate șoca cititorii, dar istoricii moderni cred că Pitagora nu și-a dovedit teoria. Dar el a transmis cunoștințele sale doar adepților săi, care ulterior au finalizat toate calculele matematice necesare.

Oricum ar fi, astăzi nu se cunoaște o tehnică de demonstrare a acestei teoreme, ci mai multe deodată. Astăzi putem doar ghici cum exact grecii antici și-au făcut calculele, așa că aici vom lua în considerare diferite moduri de a demonstra teorema lui Pitagora.

teorema lui Pitagora

Înainte de a începe orice calcul, trebuie să vă dați seama ce teorie să demonstrați. Teorema lui Pitagora sună astfel: „Într-un triunghi în care unul dintre unghiuri este de 90 o, suma pătratelor catetelor este egală cu pătratul ipotenuzei”.

Există 15 moduri diferite de a demonstra teorema lui Pitagora în total. Acesta este un număr destul de mare, așa că să acordăm atenție celor mai populare dintre ele.

Metoda unu

Să definim mai întâi ce avem. Aceste date se vor aplica și altor modalități de demonstrare a teoremei lui Pitagora, așa că ar trebui să vă amintiți imediat toată notația disponibilă.

Să presupunem că este dat un triunghi dreptunghic, cu catetele a, b și ipotenuza egală cu c. Prima metodă de demonstrare se bazează pe faptul că un pătrat trebuie trasat dintr-un triunghi dreptunghic.

Pentru a face acest lucru, trebuie să desenați un segment egal cu piciorul în lungimea piciorului a și invers. Deci ar trebui să iasă două laturi egale ale pătratului. Rămâne doar să desenați două linii paralele, iar pătratul este gata.

În interiorul figurii rezultate, trebuie să desenați un alt pătrat cu o latură egală cu ipotenuza triunghiului original. Pentru a face acest lucru, din vârfurile ac și sv, trebuie să desenați două segmente paralele egale cu c. Astfel, obținem trei laturi ale pătratului, dintre care una este ipotenuza triunghiului dreptunghic inițial. Rămâne doar să desenăm al patrulea segment.

Pe baza cifrei rezultate, putem concluziona că aria pătratului exterior este (a + b) 2. Dacă te uiți în interiorul figurii, poți vedea că, pe lângă pătratul interior, are patru triunghiuri dreptunghiulare. Suprafața fiecăruia este de 0,5 av.

Prin urmare, aria este: 4 * 0,5av + s 2 \u003d 2av + s 2

Prin urmare (a + c) 2 \u003d 2av + c 2

Și, prin urmare, cu 2 \u003d a 2 + în 2

Teorema a fost demonstrată.

Metoda a doua: triunghiuri similare

Această formulă pentru demonstrarea teoremei lui Pitagora a fost derivată pe baza unei afirmații din secțiunea de geometrie despre triunghiuri similare. Se spune că catetul unui triunghi dreptunghic este media proporțională cu ipotenuza sa și segmentul de ipotenuză care provine din vârful unui unghi de 90 o.

Datele inițiale rămân aceleași, așa că să începem imediat cu dovada. Să desenăm un segment CD perpendicular pe latura AB. Pe baza afirmației de mai sus, catetele triunghiurilor sunt egale:

AC=√AB*AD, SW=√AB*DV.

Pentru a răspunde la întrebarea cum să demonstrăm teorema lui Pitagora, demonstrația trebuie făcută prin pătrarea ambelor inegalități.

AC 2 \u003d AB * IAD și SV 2 \u003d AB * DV

Acum trebuie să adăugăm inegalitățile rezultate.

AC 2 + SV 2 \u003d AB * (AD * DV), unde AD + DV \u003d AB

Se pare că:

AC 2 + CB 2 \u003d AB * AB

Prin urmare:

AC 2 + CB 2 \u003d AB 2

Demonstrarea teoremei lui Pitagora și diferite căi soluțiile sale necesită o abordare cu mai multe fațete a acestei probleme. Cu toate acestea, această opțiune este una dintre cele mai simple.

O altă metodă de calcul

Descrierea diferitelor moduri de a demonstra teorema lui Pitagora poate să nu spună nimic, până când nu începeți să exersați pe cont propriu. Multe metode implică nu numai calcule matematice, ci și construcția de noi figuri din triunghiul original.

În acest caz, este necesar să finalizați un alt triunghi dreptunghic VSD de la piciorul aeronavei. Astfel, acum există două triunghiuri cu catetă comună BC.

Știind că ariile figurilor similare au un raport ca pătratele dimensiunilor lor liniare similare, atunci:

S avs * s 2 - S avd * în 2 \u003d S avd * a 2 - S vd * a 2

S avs * (de la 2 la 2) \u003d a 2 * (S avd -S vvd)

de la 2 la 2 \u003d un 2

c 2 \u003d a 2 + în 2

Deoarece această opțiune nu este potrivită din diferite metode de demonstrare a teoremei lui Pitagora pentru clasa a 8-a, puteți utiliza următoarea tehnică.

Cel mai simplu mod de a demonstra teorema lui Pitagora. Recenzii

Istoricii cred că această metodă a fost folosită pentru prima dată pentru a demonstra o teoremă în Grecia antică. Este cel mai simplu, deoarece nu necesită absolut niciun calcul. Dacă desenați corect o imagine, atunci dovada afirmației că a 2 + b 2 \u003d c 2 va fi clar vizibilă.

Condițiile pentru această metodă vor fi ușor diferite de cea anterioară. Pentru a demonstra teorema, să presupunem că triunghiul dreptunghic ABC este isoscel.

Luăm ipotenuza AC ca latură a pătratului și desenăm cele trei laturi ale acestuia. În plus, este necesar să desenați două linii diagonale în pătratul rezultat. Astfel încât în interiorul ei să obții patru triunghiuri isoscele.

Pentru picioarele AB și CB, trebuie de asemenea să desenați un pătrat și să desenați o linie diagonală în fiecare dintre ele. Desenăm prima linie de la vârful A, a doua - de la C.

Acum trebuie să vă uitați cu atenție la desenul rezultat. Deoarece există patru triunghiuri pe ipotenuza AC, egale cu cea inițială, și două pe catete, acest lucru indică veridicitatea acestei teoreme.

Apropo, datorită acestei metode de demonstrare a teoremei lui Pitagora, s-a născut celebra frază: „Pantalonii pitagoreici sunt egali în toate direcțiile”.

Dovada de J. Garfield

James Garfield este al 20-lea președinte al Statelor Unite ale Americii. Pe lângă faptul că și-a lăsat amprenta asupra istoriei ca conducător al Statelor Unite, a fost și un autodidact talentat.

La începutul carierei, a fost profesor obișnuit la o școală populară, dar în curând a devenit directorul uneia dintre instituțiile de învățământ superior. Dorința de auto-dezvoltare i-a permis să ofere o nouă teorie a demonstrației teoremei lui Pitagora. Teorema și un exemplu de soluție sunt după cum urmează.

Mai întâi trebuie să desenați două triunghiuri dreptunghiulare pe o bucată de hârtie, astfel încât piciorul unuia dintre ele să fie o continuare a celui de-al doilea. Vârfurile acestor triunghiuri trebuie să fie conectate pentru a ajunge la un trapez.

După cum știți, aria unui trapez este egală cu produsul dintre jumătate din suma bazelor sale și înălțimea.

S=a+b/2 * (a+b)

Dacă considerăm trapezul rezultat ca o figură formată din trei triunghiuri, atunci aria sa poate fi găsită după cum urmează:

S \u003d av / 2 * 2 + s 2 / 2

Acum trebuie să egalăm cele două expresii originale

2av / 2 + s / 2 \u003d (a + c) 2 / 2

c 2 \u003d a 2 + în 2

Se pot scrie mai mult de un volum dintr-un manual despre teorema lui Pitagora și despre cum se demonstrează. Dar are sens atunci când aceste cunoștințe nu pot fi puse în practică?

Aplicarea practică a teoremei lui Pitagora

Din păcate, programele școlare moderne prevăd utilizarea acestei teoreme doar în problemele geometrice. Absolvenții vor părăsi în curând zidurile școlii fără să știe cum își pot aplica cunoștințele și abilitățile în practică.

De fapt, oricine poate folosi teorema lui Pitagora în viața de zi cu zi. Și nu numai în activități profesionale, ci și în treburile casnice obișnuite. Să luăm în considerare câteva cazuri în care teorema lui Pitagora și metodele de demonstrare a acesteia pot fi extrem de necesare.

Legătura dintre teoremă și astronomie

S-ar părea cum stelele și triunghiurile pot fi conectate pe hârtie. De fapt, astronomia este un domeniu științific în care teorema lui Pitagora este utilizată pe scară largă.

De exemplu, luați în considerare mișcarea unui fascicul de lumină în spațiu. Știm că lumina se deplasează în ambele direcții cu aceeași viteză. Numim traiectoria AB de-a lungul căreia se mișcă raza de lumină l. Și jumătate din timpul necesar pentru ca lumina să ajungă din punctul A în punctul B, să sunăm t. Și viteza fasciculului - c. Se pare că: c*t=l

Dacă te uiți la același fascicul dintr-un alt plan, de exemplu, de la o căptușeală spațială care se mișcă cu o viteză v, atunci cu o astfel de observare a corpurilor, viteza lor se va schimba. În acest caz, chiar și elementele staționare se vor deplasa cu o viteză v în direcția opusă.

Să presupunem că linia de benzi desenate navighează spre dreapta. Apoi punctele A și B, între care raza se repezi, se vor deplasa spre stânga. Mai mult, atunci când fasciculul se deplasează din punctul A în punctul B, punctul A are timp să se miște și, în consecință, lumina va ajunge deja într-un nou punct C. Pentru a găsi jumătate din distanța la care punctul A sa deplasat, trebuie să înmulțiți valoarea viteza căptușelii cu jumătate din timpul de călătorie al fasciculului (t ").

Și pentru a afla cât de departe ar putea călători o rază de lumină în acest timp, trebuie să desemnați jumătate din calea noului fag și să obțineți următoarea expresie:

Dacă ne imaginăm că punctele de lumină C și B, precum și linia spațială, sunt vârfurile unui triunghi isoscel, atunci segmentul de la punctul A la căptușeală îl va împărți în două triunghiuri dreptunghiulare. Prin urmare, datorită teoremei lui Pitagora, puteți afla distanța pe care o poate parcurge o rază de lumină.

Acest exemplu, desigur, nu este cel mai de succes, deoarece doar câțiva pot avea norocul să-l încerce în practică. Prin urmare, luăm în considerare aplicații mai banale ale acestei teoreme.

Raza de transmisie a semnalului mobil

Viața modernă nu mai poate fi imaginată fără existența smartphone-urilor. Dar cât de mult le-ar fi de folos dacă nu ar putea conecta abonații prin comunicații mobile?!

Calitatea comunicațiilor mobile depinde direct de înălțimea la care se află antena operatorului de telefonie mobilă. Pentru a calcula cât de departe de un turn mobil un telefon poate primi un semnal, puteți aplica teorema lui Pitagora.

Să presupunem că trebuie să găsiți înălțimea aproximativă a unui turn staționar, astfel încât să poată propaga un semnal pe o rază de 200 de kilometri.

AB (înălțimea turnului) = x;

BC (raza de transmisie a semnalului) = 200 km;

OS (raza globului) = 6380 km;

OB=OA+ABOB=r+x

Aplicând teorema lui Pitagora, aflăm că înălțimea minimă a turnului ar trebui să fie de 2,3 kilometri.

Teorema lui Pitagora în viața de zi cu zi

În mod ciudat, teorema lui Pitagora poate fi utilă chiar și în chestiuni de zi cu zi, cum ar fi determinarea înălțimii unui dulap, de exemplu. La prima vedere, nu este nevoie să folosiți astfel de calcule complexe, deoarece puteți efectua pur și simplu măsurători cu o bandă de măsurare. Mulți sunt însă surprinși de ce apar anumite probleme în timpul procesului de asamblare dacă toate măsurătorile au fost luate mai mult decât exact.

Faptul este că dulapul este asamblat în poziție orizontală și abia apoi se ridică și este instalat pe perete. Prin urmare, peretele lateral al dulapului în procesul de ridicare a structurii trebuie să treacă liber atât de-a lungul înălțimii, cât și în diagonală a încăperii.

Să presupunem că există un dulap cu o adâncime de 800 mm. Distanța de la podea la tavan - 2600 mm. Un producător de mobilier cu experiență va spune că înălțimea dulapului ar trebui să fie cu 126 mm mai mică decât înălțimea camerei. Dar de ce exact 126 mm? Să ne uităm la un exemplu.

Cu dimensiunile ideale ale dulapului, să verificăm funcționarea teoremei lui Pitagora:

AC \u003d √AB 2 + √BC 2

AC \u003d √ 2474 2 +800 2 \u003d 2600 mm - totul converge.

Să presupunem că înălțimea dulapului nu este de 2474 mm, ci de 2505 mm. Apoi:

AC \u003d √2505 2 + √800 2 \u003d 2629 mm.

Prin urmare, acest dulap nu este potrivit pentru instalarea în această cameră. Deoarece atunci când îl ridicați într-o poziție verticală, poate fi cauzată deteriorarea corpului.

Poate, având în vedere diferite moduri de a demonstra teorema lui Pitagora de către diferiți oameni de știință, putem concluziona că este mai mult decât adevărată. Acum puteți folosi informațiile primite în viața de zi cu zi și puteți fi complet sigur că toate calculele vor fi nu numai utile, ci și corecte.

Teorema lui Pitagora spune:

Într-un triunghi dreptunghic, suma pătratelor catetelor este egală cu pătratul ipotenuzei:

a 2 + b 2 = c 2,

Ași b- picioarele formând un unghi drept.
cu este ipotenuza triunghiului.

Formule ale teoremei lui Pitagora

a = \sqrt(c^(2) - b^(2))
b = \sqrt (c^(2) - a^(2))
c = \sqrt (a^(2) + b^(2))

Dovada teoremei lui Pitagora

Aria unui triunghi dreptunghic se calculează cu formula:

S = \frac(1)(2)ab

Pentru a calcula aria unui triunghi arbitrar, formula ariei este:

p- semiperimetrul. p=\frac(1)(2)(a+b+c),
r este raza cercului înscris. Pentru un dreptunghi r=\frac(1)(2)(a+b-c).

Apoi echivalăm laturile drepte ale ambelor formule pentru aria unui triunghi:

\frac(1)(2) ab = \frac(1)(2)(a+b+c) \frac(1)(2)(a+b-c)

2 ab = (a+b+c) (a+b-c)

2 ab = \left((a+b)^(2) -c^(2) \right)

2ab = a^(2)+2ab+b^(2)-c^(2)

0=a^(2)+b^(2)-c^(2)

c^(2) = a^(2)+b^(2)

Teorema inversă a lui Pitagora:

Dacă pătratul unei laturi a unui triunghi este egal cu suma pătratelor celorlalte două laturi, atunci triunghiul este un triunghi dreptunghic. Adică pentru orice triplu de numere pozitive a, bși c, astfel încât

a 2 + b 2 = c 2,

există un triunghi dreptunghic cu catete Ași b si ipotenuza c.

teorema lui Pitagora- una dintre teoremele fundamentale ale geometriei euclidiene, stabilind relaţia dintre laturile unui triunghi dreptunghic. A fost dovedit de savantul matematician și filozoful Pitagora.

Sensul teoremei prin aceea că poate fi folosit pentru a demonstra alte teoreme și pentru a rezolva probleme.

Material suplimentar:

Popular

Ce este ENVD și de ce este necesar

« Multe întreprinderi mici preferă să folosească un astfel de regim fiscal preferențial, în care contribuabilul calculează un singur impozit pe... »

Setări de e-mail Yandex pentru ușurință în utilizare Cum să eliminați reclamele din e-mail

« Proprietarii de site-uri web încearcă să câștige bani din propriile resurse de internet cu ajutorul unităților de anunțuri. Uneori reclamele pot fi... »

Revizuirea practicii judiciare pe tema „Utilizarea ineficientă a fondurilor bugetare și a proprietății” (pregătită de experții companiei Garant)

« Este luat în considerare unul dintre tipurile de stimulente ale angajaților pentru îmbunătățirea calității muncii și a productivității sale. Dar, pe de altă parte, premiul acționează ca... »