În această lecție ne vom familiariza cu conceptul de linie de coordonate, vom deriva principalele sale caracteristici și proprietăți. Să formulăm și să învățăm să rezolvăm principalele probleme. Să rezolvăm câteva exemple de combinare a acestor probleme.
Din cursul de geometrie știm ce este o dreaptă, dar ce trebuie făcut cu o dreaptă obișnuită pentru ca aceasta să devină o linie de coordonate?
1) Selectați punctul de plecare;
2) Alegeți o direcție;
3) Selectați scara;
Figura 1 prezintă o linie obișnuită, iar Figura 2 prezintă o linie de coordonate.
O linie de coordonate este o linie l pe care se alege punctul de plecare O - originea referinței, scara este un segment unitar, adică un segment a cărui lungime este considerată egală cu unu și o direcție pozitivă.
Linia de coordonate se mai numește și axa de coordonate sau axa X.
Să aflăm de ce este necesară linia de coordonate pentru a face acest lucru, vom defini proprietatea sa principală. Linia de coordonate stabilește o corespondență unu-la-unu între mulțimea tuturor numerelor și mulțimea tuturor punctelor de pe această dreaptă. Iată câteva exemple:
Sunt date două numere: (semnul „+”, modulul este egal cu trei) și (semnul „-”, modulul este egal cu trei Să descriem aceste numere pe linia de coordonate:
Aici numărul se numește coordonată A, numărul se numește coordonată B.
De asemenea, ei spun că imaginea unui număr este punctul C cu coordonată, iar imaginea unui număr este punctul D cu coordonata:
Deci, deoarece proprietatea principală a dreptei de coordonate este stabilirea unei corespondențe unu-la-unu între puncte și numere, apar două sarcini principale: pentru a indica un punct printr-un număr dat, am făcut deja acest lucru mai sus și pentru a indica un număr cu un punct dat. Să ne uităm la un exemplu al celei de-a doua sarcini:
Fie dat punctul M:
Pentru a determina un număr dintr-un punct dat, trebuie mai întâi să determinați distanța de la origine la punct. ÎN în acest caz, distanta este de doua. Acum trebuie să determinați semnul numărului, adică în ce rază a dreptei se află punctul M. În acest caz, punctul se află la dreapta originii, în raza pozitivă, ceea ce înseamnă că numărul va au semnul „+”.
Să luăm un alt punct și să îl folosim pentru a determina numărul:
Distanța de la origine la punct este similară cu exemplul anterior, egală cu doi, dar în acest caz punctul se află la stânga originii, pe raza negativă, ceea ce înseamnă că punctul N caracterizează numărul
Toate problemele tipice asociate cu linia de coordonate sunt într-un fel sau altul legate de proprietatea sa principală și de cele două probleme principale pe care le-am formulat și rezolvat.
Sarcinile tipice includ:
-să poată plasa puncte și coordonatele acestora;
-înțelege comparația numerelor:
expresia înseamnă că punctul C cu coordonata 4 se află în dreapta punctului M cu coordonata 2:
Și invers, dacă ni se oferă locația punctelor pe o linie de coordonate, trebuie să înțelegem că coordonatele lor sunt legate printr-o anumită relație:
Să fie date punctele M(x M) și N(x N):
Vedem că punctul M se află la dreapta punctului n, ceea ce înseamnă că coordonatele lor sunt legate ca
-Determinarea distanței dintre puncte.
Știm că distanța dintre punctele X și A este egală cu modulul numărului. să se acorde două puncte:
Atunci distanța dintre ele va fi egală cu:
O altă sarcină foarte importantă este descrierea geometrică a seturilor de numere.
Luați în considerare o rază care se află pe axa de coordonate, nu include originea ei, dar include toate celelalte puncte:
Deci, ni se oferă un set de puncte situate pe axa de coordonate. Să descriem setul de numere care este caracterizat de acest set de puncte. Există nenumărate astfel de numere și puncte, așa că această intrare arată astfel:
Să facem o explicație: în a doua opțiune de înregistrare, dacă puneți o paranteză „(”, atunci numărul extrem - în acest caz, numărul 3, nu este inclus în set, dar dacă puneți o paranteză pătrată „[ ”, atunci numărul extrem este inclus în set.
Deci, am scris analitic o mulțime numerică care caracterizează un anumit set de puncte. notația analitică, așa cum am spus, se realizează fie sub forma unei inegalități, fie sub forma unui interval.
Este dat un set de puncte:
În acest caz, punctul a=3 este inclus în mulțime. Să descriem analitic setul de numere:
Vă rugăm să rețineți că o paranteză este întotdeauna plasată după sau înainte de semnul infinitului, deoarece nu vom ajunge niciodată la infinit și poate exista fie o paranteză, fie o paranteză în dreptul numărului, în funcție de condițiile sarcinii.
Să luăm în considerare un exemplu de problemă inversă.
Este dată o linie de coordonate. Desenați pe el un set de puncte corespunzător mulțimii numerice și:
Linia de coordonate stabilește o corespondență unu-la-unu între orice punct și un număr și, prin urmare, între seturi numerice și seturi de puncte. Ne-am uitat la razele îndreptate atât în direcții pozitive, cât și în direcții negative, inclusiv vârful lor și fără a-l include. Acum să ne uităm la segmente.
Exemplul 10:
Este dat un set de numere. Desenați setul corespunzător de puncte
Exemplul 11:
Este dat un set de numere. Desenați un set de puncte:
Uneori, pentru a arăta că capetele unui segment nu sunt incluse în set, sunt desenate săgeți:
Exemplul 12:
Este dat un set de numere. Construiți modelul său geometric:
Găsiți cel mai mic număr din interval:
Găsiți cel mai mare număr din interval dacă există:
Putem scădea un număr arbitrar mic din opt și să spunem că rezultatul va fi cel mai mare număr, dar vom găsi imediat un număr și mai mic, iar rezultatul scăderii va crește, astfel încât este imposibil să găsim cel mai mare număr în acest interval.
Să fim atenți la faptul că este imposibil să selectăm cel mai apropiat număr de orice număr de pe linia de coordonate, deoarece există întotdeauna un număr și mai aproape.
Câți numere naturale cuprinse într-un interval dat?
Din interval selectăm următoarele numere naturale: 4, 5, 6, 7 - patru numere naturale.
Amintiți-vă că numerele naturale sunt numere folosite pentru numărare.
Să luăm un alt set.
Exemplul 13:
Dat un set de numere
Construiți modelul său geometric:
Acest articol este dedicat analizei unor concepte precum o rază de coordonate și o linie de coordonate. Ne vom opri asupra fiecărui concept și ne vom uita la exemple în detaliu. Datorită acestui articol, vă puteți reîmprospăta cunoștințele sau vă puteți familiariza cu subiectul fără ajutorul unui profesor.
Pentru a defini conceptul raza de coordonate, ar trebui să aveți o idee despre ce este o grindă.
Definiția 1
fascicul- aceasta este o figură geometrică care are o origine a razei de coordonate și o direcție de mișcare. Linia dreaptă este de obicei reprezentată pe orizontală, indicând direcția spre dreapta.
În exemplu vedem că O este începutul razei.
Exemplul 1
Raza de coordonate este reprezentată conform aceleiași scheme, dar este semnificativ diferită. Stabilim un punct de plecare și măsurăm un singur segment.
Exemplul 2
Definiția 2
Segment de unitate este distanța de la 0 la punctul ales pentru măsurare.
Exemplul 3
De la sfârșitul unui singur segment trebuie să puneți câteva lovituri și să faceți marcaje.
Datorită manipulărilor pe care le-am făcut cu fasciculul, acesta a devenit coordonat. Etichetați liniile cu numere naturale în succesiune de la 1 - de exemplu, 2, 3, 4, 5...
Exemplul 4
Definiția 3
este o scară care poate dura la infinit.
Este adesea descrisă ca o rază care începe în punctul O și este reprezentat un singur segment de unitate. Un exemplu este prezentat în figură.
Exemplul 5
În orice caz, vom putea continua scala până la numărul de care avem nevoie. Puteți scrie numere cât mai convenabil posibil - sub fascicul sau deasupra acesteia.
Exemplul 6
Atât litere mari, cât și litere mici pot fi folosite pentru a afișa coordonatele razelor.
Principiul descrierii unei linii de coordonate nu este practic diferit de reprezentarea unei raze. Este simplu - desenați o rază și adăugați-o la o linie dreaptă, dându-i o direcție pozitivă, care este indicată de o săgeată.
Exemplul 7
Desenați fasciculul în direcția opusă, extinzându-l până la o linie dreaptă
Exemplul 8
Puneți deoparte segmentele individuale conform exemplului de mai sus
În partea stângă scrieți numerele naturale 1, 2, 3, 4, 5... cu semnul opus. Fii atent la exemplu.
Exemplul 9
Puteți marca doar originea și segmentele individuale. Vedeți exemplul cum va arăta.
Exemplul 10
Definiția 4
- aceasta este o linie dreaptă, care este reprezentată cu un anumit punct de referință, care este luat ca 0, un segment unitar și o direcție dată de mișcare.
Corespondența dintre punctele unei drepte de coordonate și numerele reale
O linie de coordonate poate conține multe puncte. Ele sunt direct legate de numerele reale. Aceasta poate fi definită ca o corespondență unu-la-unu.
Definiția 5
Fiecare punct de pe linia de coordonate corespunde unui singur număr real, iar fiecărui număr real corespunde unui singur punct de pe linia de coordonate.
Pentru a înțelege mai bine regula, ar trebui să marcați un punct pe linia de coordonate și să vedeți ce număr natural corespunde semnului. Dacă acest punct coincide cu originea, va fi marcat zero. Dacă punctul nu coincide cu punctul de plecare, amânăm numărul necesar de segmente de unitate până ajungem la marcajul specificat. Numărul scris sub acesta va corespunde acestui punct. Folosind exemplul de mai jos, vă vom arăta clar această regulă.
Exemplul 11
Dacă nu putem găsi un punct prin trasarea segmentelor de unitate, ar trebui să marchem și punctele care alcătuiesc o zecime, o sutime sau o miime dintr-un segment de unitate. Un exemplu poate fi folosit pentru a examina această regulă în detaliu.
Lăsând deoparte mai multe segmente similare, putem obține nu numai un număr întreg, ci și un număr fracționar - atât pozitiv, cât și negativ.
Segmentele marcate ne vor ajuta să găsim punctul necesar pe linia de coordonate. Acestea pot fi numere întregi sau fracționale. Cu toate acestea, există puncte pe o linie dreaptă care sunt foarte greu de găsit folosind segmente individuale. Aceste puncte corespund fracțiilor zecimale. Pentru a căuta un astfel de punct, va trebui să lăsați deoparte un segment de unitate, o zecime, o sutime, o miime, zece miimi și alte părți ale acestuia. Un punct de pe linia de coordonate corespunde numărului irațional π (= 3, 141592...).
Mulțimea numerelor reale include toate numerele care pot fi scrise ca fracție. Acest lucru vă permite să identificați regula.
Definiția 6
Fiecare punct de pe linia de coordonate corespunde unui anumit număr real. Puncte diferite definesc numere reale diferite.
Această corespondență este unică - fiecărui punct îi corespunde un anumit număr real. Dar acest lucru funcționează și invers. De asemenea, putem specifica un punct specific pe linia de coordonate care se va referi la un anumit număr real. Dacă numărul nu este un întreg, atunci trebuie să marchem mai multe segmente de unitate, precum și zecimi și sutimi într-o direcție dată. De exemplu, numărul 400350 corespunde unui punct de pe linia de coordonate, la care se poate ajunge de la origine prin trasarea în direcție pozitivă a 400 de segmente de unitate, 3 segmente constituind o zecime de unitate și 5 segmente constituind o miime.
Deci, un segment de unitate și părțile sale a zecea, sutimea și așa mai departe ne permit să ajungem la punctele liniei de coordonate, care vor corespunde fracțiilor zecimale finale (ca în exemplul anterior). Totuși, există puncte de pe linia de coordonate la care nu putem ajunge, dar de care ne putem apropia cât ne place, folosindu-le din ce în ce mai mici până la o fracțiune infinitezimală a unui segment unitar. Aceste puncte corespund infinitelor fracții zecimale periodice și neperiodice. Să dăm câteva exemple. Unul dintre aceste puncte de pe dreapta de coordonate corespunde numărului 3.711711711...=3,(711) . Pentru a aborda acest punct, trebuie să lăsați deoparte 3 segmente de unitate, 7 zecimi, 1 sutime, 1 miime, 7 zecemiimi, 1 sută de miimi, 1 milione dintr-un segment de unitate și așa mai departe. Și un alt punct de pe linia de coordonate îi corespunde pi (π=3,141592...).
Deoarece elementele mulțimii numerelor reale sunt toate numerele care pot fi scrise sub formă de finit și infinit zecimale, atunci toate informațiile prezentate mai sus în acest paragraf ne permit să afirmăm că am atribuit un anumit număr real fiecărui punct de pe dreapta de coordonate și este clar că diferite puncte corespund unor numere reale diferite.
De asemenea, este destul de evident că această corespondență este unu-la-unu. Adică, putem atribui un număr real unui punct specificat pe o linie de coordonate, dar putem, de asemenea, folosind un număr real dat, să indicam un anumit punct pe o linie de coordonate căruia îi corespunde un anumit număr real. Pentru a face acest lucru, va trebui să lăsăm deoparte un anumit număr de segmente unitare, precum și zecimi, sutimi și așa mai departe, de fracții dintr-un segment unitar de la începutul numărătorii inverse în direcția dorită. De exemplu, numărul 703.405 corespunde unui punct de pe linia de coordonate, la care se poate ajunge de la origine prin trasarea a 703 segmente de unitate, 4 segmente care constituie o zecime de unitate și 5 segmente care constituie o miime de unitate în sens pozitiv .
Deci, la fiecare punct de pe linia de coordonate există un număr real, iar fiecare număr real are locul său sub forma unui punct pe dreapta de coordonate. Acesta este motivul pentru care linia de coordonate este adesea numită linie numerică.
Coordonatele punctelor de pe o linie de coordonate
Se numește numărul corespunzător unui punct de pe o dreaptă de coordonate coordonata acestui punct.
În paragraful anterior, am spus că fiecărui număr real îi corespunde un singur punct pe linia de coordonate, prin urmare, coordonatele unui punct determină în mod unic poziția acestui punct pe linia de coordonate. Cu alte cuvinte, coordonata unui punct definește în mod unic acest punct pe linia de coordonate. Pe de altă parte, fiecare punct de pe linia de coordonate corespunde unui singur număr real - coordonatele acestui punct.
Tot ce rămâne de spus este despre notația acceptată. Coordonata punctului este scrisă între paranteze în dreapta literei care reprezintă punctul. De exemplu, dacă punctul M are coordonatele -6, atunci puteți scrie M(-6), iar notația formei înseamnă că punctul M de pe linia de coordonate are coordonate.
Referințe.
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematică: manual pentru clasa a V-a. institutii de invatamant.
- Vilenkin N.Ya. si altii. Clasa a VI-a: manual pentru instituţiile de învăţământ general.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebră: manual pentru clasa a VIII-a. institutii de invatamant.
La sfârșitul capitolului 1, am vorbit despre faptul că într-un curs de algebră trebuie să învățăm să descriem situații reale în cuvinte (model verbal), algebric (algebric sau, după cum spun matematicienii mai des, model analitic), grafic (model grafic). sau model geometric). Întreaga primă secțiune manual(capitolele 1-5) a fost dedicat studiului limbajului matematic cu care sunt descrise modelele analitice.
Începând cu capitolul 6, vom studia nu doar modele analitice noi, ci și modele grafice (geometrice). Ele sunt construite folosind o linie de coordonate, plan de coordonate. Aceste concepte vă sunt puțin familiare de la cursul de matematică din clasa a V-a-VI.
Linia directă /, pe care este selectată cea inițială punct O (origine), scară (unitate segment, adică un segment a cărui lungime este considerată egală cu 1) și o direcție pozitivă se numește linie de coordonate, sau axă de coordonate (Fig. 7); Termenul „axa x” este de asemenea folosit.
Fiecare număr corespunde unui singur punct de pe linie. De exemplu, numărul 3,5 corespunde punctului M (Fig. 8), care este îndepărtat de la origine, adică din punctul O, la o distanță egală cu 3,5 (pe o scară dată) și întârziat de la punctul O la o dată. direcție (pozitivă). Numărul -4 corespunde punctului P (vezi Fig. 8), care este îndepărtat din punctul O la o distanță egală cu 4 și este așezat departe de punctul O în direcția negativă, adică în direcția opusă celei date.
Este adevărat și invers: fiecărui punct de pe linia de coordonate îi corespunde un singur număr.
De exemplu, punctul K, la o distanță de 5,4 de punctul O în direcția pozitivă (dată), corespunde numărului 5,4, iar punctul N, la o distanță de 2,1 de punctul O în direcția negativă, corespunde numărului - 2.1 (vezi Fig. 8).
Numerele indicate se numesc coordonatele punctelor corespondente. Deci, în fig. 8 punctul K are coordonata 5,4; punctul P - coordonata -4; punctul M - coordonata 3,5; punctul N - coordonata -2,1; punctul O - coordonata 0 (zero). De aici provine numele „linie de coordonate”. Figurat vorbind, linia de coordonate este o casă dens populată, locuitorii acestei case sunt puncte, iar coordonatele punctelor sunt numărul de apartamente în care locuiesc punctele rezidente.
De ce este nevoie de o linie de coordonate? De ce să caracterizezi un punct cu un număr și un număr cu un punct? Există vreun beneficiu în acest sens? Da, am.
Să fie date, de exemplu, două puncte pe o dreaptă de coordonate: A - cu coordonata o și B - cu coordonata b (de obicei, în astfel de cazuri se scrie mai scurt:
A(a), B(b)). Trebuie să găsim distanța d dintre punctele A și B. Se dovedește că în loc să facem măsurători geometrice, folosește doar formula gata făcută d = (a - b) (ai studiat-o în clasa a VI-a).
Deci, în figura 8 avem:
Străduindu-se pentru concizia raționamentului, matematicienii au convenit, în loc de expresia lungă „punctul A al dreptei de coordonate având coordonata a”, să folosească fraza scurtă: „punctul a”, și, în consecință, în desen punctul în cauză este desemnat prin coordona. Deci, Figura 9 prezintă o linie de coordonate pe care sunt marcate puncte - 4; - 2,1; 0; 1; 3,5; 5.4.
Linia de coordonate ne oferă posibilitatea de a trece liber de la limbajul algebric la limbajul geometric și înapoi. Fie, de exemplu, numărul a mai mic decât numărul b. În limbajul algebric aceasta se scrie astfel: a< b; на геометрическом языке это означает, что точка а расположена на координатной прямой левее точки b.
Cu toate acestea, atât limbajele algebrice, cât și cele geometrice sunt varietăți ale aceluiași limbaj matematic pe care îl studiem.
Să ne familiarizăm cu mai multe elemente ale limbajului matematic care sunt asociate cu linia de coordonate.
1. Lasă punctul a să fie marcat pe linia de coordonate. Să luăm în considerare toate punctele care se află pe o linie dreaptă la dreapta punctului a și să marchem partea corespunzătoare cu hașurare dreaptă de coordonate (Fig. 10). Acest set de puncte (numere) se numește rază deschisă și este desemnat (a, +oo), unde semnul +oo scrie: „plus infinit”; se caracterizează prin inegalitatea x > a (prin dz înţelegem orice punct de pe rază).
Vă rugăm să rețineți: punctul a nu aparține grinzii deschise, dar dacă acest punct trebuie atașat la grinda deschisă, atunci scrieți x > a sau și, în consecință, pictați peste punctul b în desen (Fig. 13);
pentru (- oo, b) vom folosi și termenul de rază.
3. Fie marcate punctele a și b pe linia de coordonate și a< b (т. е. точка а расположена на прямой левее точки b). Рассмотрим все точки, которые лежат правее точки а, но левее точки b отметим соответствующую часть координатной прямой штриховкой (рис. 14).
Această mulțime (de numere) se numește interval și se notează (a, b).
Se caracterizează printr-o inegalitate dublă strictă a< х < b (под х понимается любая точка интервала).
Vă rugăm să rețineți: intervalul (a, b) este intersecția (partea comună) a două raze deschise (-oo, b) și (a, + oo) - acest lucru este clar vizibil în Figura 15.
Dacă adăugăm capetele la intervalul (a, b), adică punctele a și b, atunci obținem segmentul [a, b] (Fig. 16),
care se caracterizează printr-o dublă inegalitate nestrictă a< х < b. Обратите внимание: в обозначении отрезка используют не круглые скобки, как это было в обозначении интервала, а квадратные; на чертеже точки а и b отмечены темными кружками, а не светлыми, как это было в случае интервала.
Segmentul [a, b] este intersecția (partea comună) a două raze (-oo, b] și care se caracterizează prin inegalități duble: a< х < b - в первом случае, a < х < b - во втором случае.
Așadar, am introdus cinci termeni noi în limbajul matematic: rază, rază deschisă, interval, segment, semi-interval. Există și un termen general: intervale numerice.
Linia de coordonate în sine este, de asemenea, considerată un interval numeric; se folosește notația (-oo, +oo).
Matematică pentru clasa a VII-a descărcare gratuită, planuri de lecție, pregătire pentru școală online
A. V. Pogorelov, Geometrie pentru clasele 7-11, Manual pentru instituțiile de învățământ
Conținutul lecției notele de lecție sprijinirea metodelor de accelerare a prezentării lecției cadru tehnologii interactive Practica sarcini și exerciții ateliere de autotestare, instruiri, cazuri, întrebări teme pentru acasă întrebări de discuție întrebări retorice de la elevi Ilustrații audio, clipuri video și multimedia fotografii, imagini, grafice, tabele, diagrame, umor, anecdote, glume, benzi desenate, pilde, proverbe, cuvinte încrucișate, citate Suplimente rezumate articole trucuri pentru pătuțurile curioși manuale dicționar de bază și suplimentar de termeni altele Îmbunătățirea manualelor și lecțiilorcorectarea erorilor din manual actualizarea unui fragment dintr-un manual, elemente de inovație în lecție, înlocuirea cunoștințelor învechite cu altele noi Doar pentru profesori lecții perfecte planul calendaristic pentru anul recomandări metodologice programe de discuții Lecții integrateMai simplu spus, acestea sunt legume fierte în apă după o rețetă specială. Mă voi uita la două componente sursă ( salata de legumeși apă) și rezultatul final - borș. Din punct de vedere geometric, poate fi gândit ca un dreptunghi, cu o parte reprezentând salata verde, iar cealaltă reprezentând apa. Suma acestor două laturi va indica borș. Diagonala și aria unui astfel de dreptunghi „borș” sunt concepte pur matematice și nu sunt niciodată folosite în rețetele de borș.
Cum se transformă salata verde și apa în borș din punct de vedere matematic? Cum poate suma a două segmente de linie să devină trigonometrie? Pentru a înțelege acest lucru, avem nevoie de funcții unghiulare liniare.
Nu veți găsi nimic despre funcțiile unghiulare liniare în manualele de matematică. Dar fără ele nu poate exista matematică. Legile matematicii, ca și legile naturii, funcționează indiferent dacă știm despre existența lor sau nu.
Funcțiile unghiulare liniare sunt legi de adunare. Vedeți cum algebra se transformă în geometrie și geometria se transformă în trigonometrie.
Este posibil să faci fără funcții unghiulare liniare? Este posibil, pentru că matematicienii încă se descurcă fără ei. Trucul matematicienilor este că ei ne vorbesc întotdeauna doar despre acele probleme pe care ei înșiși știu să le rezolve și nu vorbesc niciodată despre acele probleme pe care nu le pot rezolva. Uite. Dacă știm rezultatul adunării și al unui termen, folosim scăderea pentru a găsi celălalt termen. Toate. Nu cunoaștem alte probleme și nu știm cum să le rezolvăm. Ce ar trebui să facem dacă știm doar rezultatul adunării și nu știm ambii termeni? În acest caz, rezultatul adunării trebuie descompus în doi termeni folosind funcții unghiulare liniare. Apoi, alegem noi înșine ce poate fi un termen, iar funcțiile unghiulare liniare arată care ar trebui să fie al doilea termen, astfel încât rezultatul adunării să fie exact ceea ce avem nevoie. Pot exista un număr infinit de astfel de perechi de termeni. În viața de zi cu zi, ne înțelegem bine fără să descompunem suma este suficientă. Dar în cercetarea științifică a legilor naturii, descompunerea unei sume în componentele sale poate fi foarte utilă.
O altă lege a adunării despre care matematicienii nu le place să vorbească (un alt truc al lor) cere ca termenii să aibă aceleași unități de măsură. Pentru salată, apă și borș, acestea pot fi unități de greutate, volum, valoare sau unitate de măsură.
Figura arată două niveluri de diferență pentru matematică. Primul nivel este diferențele în domeniul numerelor, care sunt indicate o, b, c. Asta fac matematicienii. Al doilea nivel este diferențele în domeniul unităților de măsură, care sunt afișate între paranteze drepte și indicate prin litera U. Asta fac fizicienii. Putem înțelege al treilea nivel - diferențele în zona obiectelor descrise. Obiecte diferite pot avea același număr de unități de măsură identice. Cât de important este acest lucru, putem vedea în exemplul trigonometriei borș. Dacă adăugăm indice la aceeași denumire de unitate pentru diferite obiecte, putem spune exact ce cantitate matematică descrie un anumit obiect și cum se schimbă în timp sau datorită acțiunilor noastre. Scrisoare W Voi desemna apa cu o scrisoare S Voi desemna salata cu o scrisoare B- borș. Așa vor arăta funcțiile unghiulare liniare pentru borș.
Dacă luăm o parte din apă și o parte din salată, împreună se vor transforma într-o porție de borș. Aici iti propun sa faci o mica pauza de la bors si sa iti amintesti de copilaria ta indepartata. Îți amintești cum am fost învățați să punem iepurași și rațe împreună? Era necesar să se găsească câte animale vor fi. Ce am fost învățați să facem atunci? Am fost învățați să separăm unitățile de măsură de numere și să adunăm numere. Da, orice număr poate fi adăugat oricărui alt număr. Aceasta este o cale directă către autismul matematicii moderne - o facem de neînțeles ce, de neînțeles de ce și înțelegem foarte prost cum se raportează asta la realitate, din cauza celor trei niveluri de diferență, matematicienii operează doar cu unul. Ar fi mai corect să înveți cum să treci de la o unitate de măsură la alta.
Iepurașii, rațele și animalele mici pot fi numărate în bucăți. O unitate de măsură comună pentru diferite obiecte ne permite să le adunăm împreună. Aceasta este o versiune a problemei pentru copii. Să ne uităm la o problemă similară pentru adulți. Ce obții când adaugi iepurași și bani? Există două soluții posibile aici.
Prima varianta. Determinăm valoarea de piață a iepurașilor și o adăugăm la suma de bani disponibilă. Am obținut valoarea totală a bogăției noastre în termeni monetari.
A doua varianta. Puteți adăuga numărul de iepurași la numărul de bancnote pe care le avem. Vom primi suma bunurilor mobile pe bucăți.
După cum puteți vedea, aceeași lege de adunare vă permite să obțineți rezultate diferite. Totul depinde de exact ce vrem să știm.
Dar să revenim la borșul nostru. Acum putem vedea ce se va întâmpla când sensuri diferite unghiul funcțiilor unghiulare liniare.
Unghiul este zero. Avem salată, dar fără apă. Nu putem găti borș. Cantitatea de borș este, de asemenea, zero. Acest lucru nu înseamnă deloc că zero borș este egal cu zero apă. Poate fi zero borș cu zero salată (unghi drept).
Pentru mine personal, aceasta este principala dovadă matematică a faptului că . Zero nu schimbă numărul atunci când este adăugat. Acest lucru se întâmplă deoarece adăugarea în sine este imposibilă dacă există un singur termen și lipsește al doilea termen. Puteți simți despre asta după cum doriți, dar amintiți-vă - toate operațiile matematice cu zero au fost inventate de matematicieni înșiși, așa că aruncați-vă logica și înghesuiți prostește definițiile inventate de matematicieni: „împărțirea cu zero este imposibilă”, „orice număr înmulțit cu zero este egal cu zero”, „dincolo de punctul de puncție zero” și alte prostii. Este suficient să vă amintiți o dată că zero nu este un număr și nu veți mai avea niciodată o întrebare dacă zero este un număr natural sau nu, pentru că o astfel de întrebare își pierde orice semnificație: cum poate ceva care nu este un număr să fie considerat un număr ? Este ca și cum ai întreba în ce culoare ar trebui clasificată o culoare invizibilă. Adăugarea unui zero la un număr este la fel ca a picta cu vopsea care nu există. Am fluturat o pensulă uscată și le-am spus tuturor că „am pictat”. Dar mă abatem puțin.
Unghiul este mai mare decât zero, dar mai mic de patruzeci și cinci de grade. Avem multă salată verde, dar nu suficientă apă. Ca urmare, vom obține borș gros.
Unghiul este de patruzeci și cinci de grade. Avem cantități egale de apă și salată. Acesta este borșul perfect (iertați-mă, bucătari, e doar matematică).
Unghiul este mai mare de patruzeci și cinci de grade, dar mai mic de nouăzeci de grade. Avem multă apă și puțină salată. Veți obține borș lichid.
Unghi drept. Avem apă. Tot ce rămâne din salată sunt amintiri, pe măsură ce continuăm să măsurăm unghiul de la linia care marca odinioară salata. Nu putem găti borș. Cantitatea de borș este zero. În acest caz, ține-te și bea apă cât o ai)))
Aici. Aşa ceva. Pot spune și alte povești aici care ar fi mai mult decât potrivite aici.
Doi prieteni aveau acțiunile lor afaceri generale. După ce l-a ucis pe unul dintre ei, totul a mers către celălalt.
Apariția matematicii pe planeta noastră.
Toate aceste povești sunt spuse în limbajul matematicii folosind funcții unghiulare liniare. Altă dată vă voi arăta locul real al acestor funcții în structura matematicii. Între timp, să revenim la trigonometrie borș și să luăm în considerare proiecțiile.
Sâmbătă, 26 octombrie 2019
Am vizionat un videoclip interesant despre Seria Grundy Un minus unu plus unu minus unu - Numberphile. Matematicienii mint. Ei nu au efectuat o verificare a egalității în timpul raționamentului lor.
Acest lucru reflectă gândurile mele despre .
Să aruncăm o privire mai atentă la semnele că matematicienii ne înșală. Chiar la începutul argumentului, matematicienii spun că suma unei secvențe DEPINE dacă are un număr par de elemente sau nu. Acesta este un FAPT STABILIT OBIECTIV. Ce se întâmplă mai departe?
În continuare, matematicienii scad șirul din unitate. La ce duce asta? Acest lucru duce la o modificare a numărului de elemente ale secvenței - un număr par se schimbă într-un număr impar, un număr impar se schimbă într-un număr par. La urma urmei, am adăugat un element egal cu unul la secvență. În ciuda tuturor asemănărilor externe, succesiunea înainte de transformare nu este egală cu succesiunea de după transformare. Chiar dacă vorbim despre o succesiune infinită, trebuie să ne amintim că o succesiune infinită cu un număr impar de elemente nu este egală cu o succesiune infinită cu un număr par de elemente.
Punând un semn egal între două secvențe cu număr diferit de elemente, matematicienii susțin că suma șirului NU DEPINE de numărul de elemente din șir, ceea ce contrazice un FAPT STABILIT OBIECTIV. Raționamentul suplimentar despre suma unei secvențe infinite este fals, deoarece se bazează pe o egalitate falsă.
Dacă vezi că matematicienii, în cursul dovezilor, pun paranteze, rearanjează elemente ale unei expresii matematice, adaugă sau elimină ceva, fii foarte atent, cel mai probabil încearcă să te înșele. Asemenea magicienilor de cărți, matematicienii folosesc diverse manipulări de exprimare pentru a-ți distrage atenția, pentru a-ți oferi în cele din urmă un rezultat fals. Dacă nu poți repeta un truc de cărți fără să cunoști secretul înșelăciunii, atunci în matematică totul este mult mai simplu: nici măcar nu bănuiești nimic despre înșelăciune, dar repetarea tuturor manipulărilor cu o expresie matematică îți permite să-i convingi pe alții de corectitudinea rezultatul obtinut, exact ca atunci cand -te-au convins.
Întrebare din partea publicului: infinitul (ca număr de elemente din secvența S) este par sau impar? Cum poți schimba paritatea a ceva care nu are paritate?
Infinitul este pentru matematicieni, așa cum Regatul Cerurilor este pentru preoți - nimeni nu a fost vreodată acolo, dar toată lumea știe exact cum funcționează totul acolo))) Sunt de acord, după moarte vei fi absolut indiferent dacă ai trăit un număr par sau impar. de zile, dar... Adăugând doar o zi la începutul vieții tale, vom obține o persoană complet diferită: numele de familie, prenumele și patronimul lui sunt exact aceleași, doar data nașterii este complet diferită - el a fost născut cu o zi înaintea ta.
Acum să trecem la subiect))) Să spunem că o secvență finită care are paritate pierde această paritate atunci când merge la infinit. Atunci orice segment finit al unei secvențe infinite trebuie să piardă paritatea. Nu vedem asta. Faptul că nu putem spune cu siguranță dacă o succesiune infinită are un număr par sau impar de elemente nu înseamnă că paritatea a dispărut. Paritatea, dacă există, nu poate dispărea fără urmă în infinit, ca în mâneca unui sharpie. Există o analogie foarte bună pentru acest caz.
L-ai întrebat vreodată pe cucul care stă în ceas în ce direcție se rotește acul ceasului? Pentru ea, săgeata se rotește în direcția opusă a ceea ce numim „în sensul acelor de ceasornic”. Oricât de paradoxal ar suna, direcția de rotație depinde numai de partea din care observăm rotația. Și așa, avem o roată care se rotește. Nu putem spune în ce direcție are loc rotația, deoarece o putem observa atât dintr-o parte a planului de rotație, cât și din cealaltă. Nu putem decât să depunem mărturie despre faptul că există rotație. Analogie completă cu paritatea unei secvențe infinite S.
Acum să adăugăm o a doua roată rotativă, al cărei plan de rotație este paralel cu planul de rotație al primei roți rotative. Încă nu putem spune cu siguranță în ce direcție se rotesc aceste roți, dar putem spune absolut dacă ambele roți se rotesc în același sens sau în sens opus. Compararea a două secvențe infinite SŞi 1-S, am arătat cu ajutorul matematicii că aceste secvențe au parități diferite și punerea unui semn egal între ele este o greșeală. Personal, am încredere în matematică, nu am încredere în matematicieni))) Apropo, pentru a înțelege pe deplin geometria transformărilor unor secvențe infinite, este necesar să introducem conceptul "simultaneitate". Acesta va trebui desenat.
miercuri, 7 august 2019
Încheind conversația despre, trebuie să luăm în considerare un set infinit. Ideea este că conceptul de „infinit” îi afectează pe matematicieni, așa cum un boa constrictor afectează un iepure. Oroarea tremurătoare a infinitului îi privează pe matematicieni de bunul simț. Iată un exemplu:
Se află sursa originală. Alpha reprezintă numărul real. Semnul egal din expresiile de mai sus indică faptul că dacă adăugați un număr sau un infinit la infinit, nimic nu se va schimba, rezultatul va fi același infinit. Dacă luăm ca exemplu mulțimea infinită de numere naturale, atunci exemplele luate în considerare pot fi reprezentate în următoarea formă:
Pentru a demonstra clar că au dreptate, matematicienii au venit cu multe metode diferite. Personal, privesc toate aceste metode ca pe șamani care dansează cu tamburine. În esență, toate se rezumă la faptul că fie unele dintre camere sunt neocupate și se mută noi oaspeți, fie că unii dintre vizitatori sunt aruncați pe coridor pentru a face loc oaspeților (foarte uman). Mi-am prezentat punctul de vedere asupra unor astfel de decizii sub forma unei povești fantastice despre Blonda. Pe ce se bazează raționamentul meu? Relocarea unui număr infinit de vizitatori necesită o perioadă infinită de timp. După ce am eliberat prima cameră pentru un oaspete, unul dintre vizitatori va merge mereu de-a lungul coridorului din camera lui în următoarea până la sfârșitul timpului. Desigur, factorul timp poate fi ignorat în mod stupid, dar acesta va fi în categoria „nicio lege nu este scrisă pentru proști”. Totul depinde de ceea ce facem: adaptăm realitatea la teoriile matematice sau invers.
Ce este un „hotel fără sfârșit”? Un hotel infinit este un hotel care are întotdeauna orice număr de paturi goale, indiferent de câte camere sunt ocupate. Dacă sunt ocupate toate camerele din nesfârșitul coridor „vizitator”, există un alt coridor nesfârșit cu camere „de oaspeți”. Vor exista un număr infinit de astfel de coridoare. Mai mult, „hotelul infinit” are un număr infinit de etaje într-un număr infinit de clădiri pe un număr infinit de planete într-un număr infinit de universuri create de un număr infinit de Zei. Matematicienii nu sunt capabili să se distanțeze de problemele banale de zi cu zi: există întotdeauna un singur Dumnezeu-Allah-Buddha, există un singur hotel, există un singur coridor. Așadar, matematicienii încearcă să jongleze cu numerele de serie ale camerelor de hotel, convingându-ne că este posibil să „împingem imposibilul”.
Vă voi demonstra logica raționamentului meu folosind exemplul unui set infinit de numere naturale. Mai întâi trebuie să răspunzi la o întrebare foarte simplă: câte seturi de numere naturale există - unul sau mai multe? Nu există un răspuns corect la această întrebare, deoarece numerele le-am inventat noi înșine, numerele nu există în Natură. Da, Natura se pricepe la numărătoare, dar pentru asta folosește alte instrumente matematice care nu ne sunt familiare. Îți voi spune ce crede Natura altădată. Din moment ce am inventat numerele, noi înșine vom decide câte seturi de numere naturale există. Să luăm în considerare ambele opțiuni, așa cum se cuvine oamenilor de știință adevărați.
Opțiunea unu. „Să ni se dea” un singur set de numere naturale, care se află senin pe raft. Luăm acest set de pe raft. Gata, nu au mai rămas alte numere naturale pe raft și de unde să le duci. Nu putem adăuga unul la acest set, deoarece îl avem deja. Dacă vrei cu adevărat? Nici o problemă. Putem lua unul din setul pe care l-am luat deja și îl putem întoarce la raft. După aceea, putem lua unul de pe raft și îl putem adăuga la ce ne-a mai rămas. Ca rezultat, vom obține din nou un set infinit de numere naturale. Puteți nota toate manipulările noastre astfel:
Am notat acțiunile în notație algebrică și în notație în teoria mulțimilor, cu o listă detaliată a elementelor mulțimii. Indicele indică faptul că avem unul și singurul set de numere naturale. Se dovedește că mulțimea numerelor naturale va rămâne neschimbată numai dacă din el se scade unul și se adaugă aceeași unitate.
Varianta a doua. Avem multe seturi infinite diferite de numere naturale pe raftul nostru. Subliniez - DIFERITE, în ciuda faptului că practic nu se pot distinge. Să luăm unul dintre aceste seturi. Apoi luăm unul dintr-un alt set de numere naturale și îl adăugăm la setul pe care l-am luat deja. Putem adăuga chiar două seturi de numere naturale. Iată ce obținem:
Indicele „unu” și „doi” indică faptul că aceste elemente aparțineau unor seturi diferite. Da, dacă adăugați unul la un set infinit, rezultatul va fi și un set infinit, dar nu va fi același cu setul original. Dacă adăugați un alt set infinit unui set infinit, rezultatul este un nou set infinit format din elementele primelor două seturi.
Mulțimea numerelor naturale este folosită pentru numărare la fel ca o riglă pentru măsurare. Acum imaginați-vă că ați adăugat un centimetru la riglă. Aceasta va fi o linie diferită, nu egală cu cea originală.
Poți să accepți sau să nu accepți raționamentul meu - este treaba ta. Dar dacă întâmpinați vreodată probleme de matematică, gândiți-vă dacă urmați calea raționamentului fals călcat de generații de matematicieni. La urma urmei, studiul matematicii, în primul rând, formează în noi un stereotip stabil de gândire și abia apoi se adaugă la abilitățile noastre mentale (sau, dimpotrivă, ne privează de gândirea liberă).
pozg.ru
Duminică, 4 august 2019
Termineam un postscript la un articol despre și am văzut acest text minunat pe Wikipedia:
Citim: „... bogata bază teoretică a matematicii Babilonului nu avea un caracter holistic și s-a redus la un set de tehnici disparate, lipsite de un sistem comun și de o bază de dovezi”.
Wow! Cât de deștepți suntem și cât de bine putem vedea neajunsurile celorlalți. Ne este greu să privim matematica modernă în același context? Parafrazând ușor textul de mai sus, personal am primit următoarele:
Baza teoretică bogată a matematicii moderne nu este de natură holistică și se reduce la un set de secțiuni disparate, lipsite de un sistem comun și de o bază de dovezi.
Nu voi merge departe pentru a-mi confirma cuvintele - are un limbaj și convenții care sunt diferite de limbajul și convențiile multor alte ramuri ale matematicii. Aceleași nume în diferite ramuri ale matematicii pot avea semnificații diferite. Vreau să dedic o serie întreagă de publicații celor mai evidente greșeli ale matematicii moderne. Pe curând.
Sâmbătă, 3 august 2019
Cum se împarte un set în subseturi? Pentru a face acest lucru, trebuie să introduceți o nouă unitate de măsură care este prezentă în unele dintre elementele setului selectat. Să ne uităm la un exemplu.
Să avem destule O format din patru persoane. Acest set este format pe baza „oamenilor”. Să notăm elementele acestui set prin literă O, indicele cu un număr va indica numărul de serie al fiecărei persoane din acest set. Să introducem o nouă unitate de măsură „gen” și să o notăm cu literă b. Deoarece caracteristicile sexuale sunt inerente tuturor oamenilor, înmulțim fiecare element al setului O bazate pe gen b. Observați că setul nostru de „oameni” a devenit acum un set de „oameni cu caracteristici de gen”. După aceasta putem împărți caracteristicile sexuale în masculin bmși de femei bw caracteristici sexuale. Acum putem aplica un filtru matematic: selectăm una dintre aceste caracteristici sexuale, indiferent care - bărbat sau femeie. Dacă o persoană o are, atunci o înmulțim cu unu, dacă nu există un astfel de semn, o înmulțim cu zero. Și apoi folosim matematica obișnuită de la școală. Uite ce sa întâmplat.
După înmulțire, reducere și rearanjare, am ajuns să avem două submulțimi: submulțimea bărbaților Bmși un subgrup de femei Bw. Matematicienii raționează aproximativ în același mod atunci când aplică teoria mulțimilor în practică. Dar ei nu ne spun detaliile, ci ne oferă rezultatul final - „mulți oameni constau dintr-un subset de bărbați și un subset de femei”. Desigur, este posibil să aveți o întrebare: cât de corect a fost aplicată matematica în transformările prezentate mai sus? Îndrăznesc să vă asigur că, în esență, transformările au fost făcute corect este suficient să cunoașteți baza matematică a aritmeticii, algebrei booleene și a altor ramuri ale matematicii. Ce este? Altă dată vă voi povesti despre asta.
În ceea ce privește superseturile, puteți combina două seturi într-un singur superset selectând unitatea de măsură prezentă în elementele acestor două seturi.
După cum puteți vedea, unitățile de măsură și matematica obișnuită fac din teoria seturilor o relicvă a trecutului. Un semn că totul nu este în regulă cu teoria mulțimilor este că matematicienii au venit cu propriul lor limbaj și notație pentru teoria mulțimilor. Matematicienii au acționat ca odinioară șamanii. Doar șamanii știu cum să-și aplice „în mod corect” „cunoștințele”. Ei ne învață această „cunoaștere”.
În concluzie, vreau să vă arăt cum manipulează matematicienii
Să presupunem că Ahile aleargă de zece ori mai repede decât țestoasa și este la o mie de pași în spatele ei. În timpul necesar lui Ahile pentru a parcurge această distanță, țestoasa se va târa o sută de pași în aceeași direcție. Când Ahile aleargă o sută de pași, țestoasa se târăște încă zece pași și așa mai departe. Procesul va continua la infinit, Ahile nu va ajunge niciodată din urmă cu țestoasa.
Acest raționament a devenit un șoc logic pentru toate generațiile următoare. Aristotel, Diogene, Kant, Hegel, Hilbert... Cu toții au considerat într-un fel sau altul aporia lui Zenon. Șocul a fost atât de puternic încât " ... discuțiile continuă până în prezent comunitatea științifică nu a reușit încă să ajungă la o opinie comună asupra esenței paradoxurilor ... analiza matematică, teoria seturilor, noi abordări fizice și filozofice au fost implicate în studiul problemei; ; niciunul dintre ele nu a devenit o soluție general acceptată la problemă...„[Wikipedia, „Aporia lui Zeno”. Toată lumea înțelege că sunt păcăliți, dar nimeni nu înțelege în ce constă înșelăciunea.
Din punct de vedere matematic, Zenon în aporia sa a demonstrat clar trecerea de la cantitate la . Această tranziție presupune aplicare în loc de cele permanente. Din câte am înțeles, aparatul matematic pentru utilizarea unităților de măsură variabile fie nu a fost încă dezvoltat, fie nu a fost aplicat aporiei lui Zeno. Aplicarea logicii noastre obișnuite ne duce într-o capcană. Noi, datorită inerției gândirii, aplicăm unități constante de timp valorii reciproce. Din punct de vedere fizic, se pare că timpul încetinește până când se oprește complet în momentul în care Ahile ajunge din urmă cu țestoasa. Dacă timpul se oprește, Ahile nu mai poate depăși țestoasa.
Dacă ne întoarcem logica obișnuită, totul cade la locul său. Ahile aleargă cu o viteză constantă. Fiecare segment ulterior al drumului său este de zece ori mai scurt decât cel anterior. În consecință, timpul petrecut pentru depășirea acestuia este de zece ori mai mic decât cel anterior. Dacă aplicăm conceptul de „infinit” în această situație, atunci ar fi corect să spunem „Achile va ajunge din urmă broasca testoasă infinit de repede”.
Cum să eviți această capcană logică? Rămâneți în unități constante de timp și nu treceți la unități reciproce. În limbajul lui Zeno arată astfel:
În timpul necesar lui Ahile pentru a alerga o mie de pași, țestoasa se va târa o sută de pași în aceeași direcție. În următorul interval de timp egal cu primul, Ahile va alerga încă o mie de pași, iar țestoasa se va târa o sută de pași. Acum Ahile este cu opt sute de pași înaintea țestoasei.
Această abordare descrie în mod adecvat realitatea fără niciun paradox logic. Dar aceasta nu este o soluție completă a problemei. Afirmația lui Einstein despre irezistibilitatea vitezei luminii este foarte asemănătoare cu aporia lui Zeno „Achile și broasca țestoasă”. Mai trebuie să studiem, să regândim și să rezolvăm această problemă. Iar soluția nu trebuie căutată la nesfârșit numere mari, dar în unități de măsură.
O altă aporie interesantă a lui Zeno spune despre o săgeată zburătoare:
O săgeată zburătoare este nemișcată, deoarece în fiecare moment de timp este în repaus și, deoarece este în repaus în fiecare moment de timp, este întotdeauna în repaus.
În această aporie, paradoxul logic este depășit foarte simplu - este suficient să clarificăm că în fiecare moment de timp o săgeată zburătoare este în repaus în diferite puncte din spațiu, care, de fapt, este mișcare. Un alt punct trebuie remarcat aici. Dintr-o fotografie a unei mașini de pe șosea este imposibil să se determine nici faptul mișcării acesteia, fie distanța până la ea. Pentru a determina dacă o mașină se mișcă, aveți nevoie de două fotografii făcute din același punct în momente diferite, dar nu puteți determina distanța față de ele. Pentru a determina distanța până la o mașină, aveți nevoie de două fotografii făcute din diferite puncte ale spațiului la un moment dat, dar din ele nu puteți determina faptul de mișcare (desigur, mai aveți nevoie de date suplimentare pentru calcule, trigonometria vă va ajuta ). Ceea ce vreau să atrag atenția în mod deosebit este că două puncte în timp și două puncte în spațiu sunt lucruri diferite care nu trebuie confundate, deoarece oferă oportunități diferite de cercetare.
Vă voi arăta procesul cu un exemplu. Selectăm „solidul roșu într-un coș” - acesta este „întregul nostru”. În același timp, vedem că aceste lucruri sunt cu arc și există fără arc. După aceea, selectăm o parte din „întreg” și formăm un set „cu un arc”. Acesta este modul în care șamanii își obțin hrana legându-și teoria seturilor de realitate.
Acum hai să facem un mic truc. Să luăm „solid cu un coș și o fundă” și să combinăm aceste „întregări” în funcție de culoare, selectând elementele roșii. Avem mult „roșu”. Acum întrebarea finală: seturile rezultate „cu arc” și „roșu” sunt același set sau două seturi diferite? Doar șamanii știu răspunsul. Mai exact, ei înșiși nu știu nimic, dar așa cum spun ei, așa va fi.
Acest exemplu simplu arată că teoria seturilor este complet inutilă când vine vorba de realitate. Care este secretul? Am format un set de „solid roșu cu un coș și o fundă”. Formarea s-a desfășurat după patru unități de măsură diferite: culoare (roșu), rezistență (solid), rugozitate (coșuri), decor (cu fundă). Doar un set de unități de măsură ne permite să descriem în mod adecvat obiectele reale în limbajul matematicii. Așa arată.
Litera „a” cu indici diferiți înseamnă unități diferite măsurători. Unitățile de măsură prin care se distinge „întregul” în etapa preliminară sunt evidențiate între paranteze. Unitatea de măsură prin care se formează setul este scoasă din paranteze. Ultima linie arată rezultatul final - un element al setului. După cum puteți vedea, dacă folosim unități de măsură pentru a forma un set, atunci rezultatul nu depinde de ordinea acțiunilor noastre. Și aceasta este matematică, și nu dansul șamanilor cu tamburine. Șamanii pot ajunge „intuitiv” la același rezultat, argumentând că este „evident”, deoarece unitățile de măsură nu fac parte din arsenalul lor „științific”.
Folosind unități de măsură, este foarte ușor să împărțiți un set sau să combinați mai multe seturi într-un singur superset. Să aruncăm o privire mai atentă la algebra acestui proces.
Încărcare...
