단항식의 거듭제곱
단항식의 경우 학위 개념이 있습니다. 그것이 무엇인지 알아 봅시다.
정의.
단항식의 거듭제곱표준 형식은 해당 레코드에 포함된 모든 변수의 지수 합계입니다. 단항식 표기법에 변수가 없고 0과 다른 경우 해당 차수는 0과 같은 것으로 간주됩니다. 숫자 0은 차수가 정의되지 않은 단항식으로 간주됩니다.
단항식의 차수를 결정하면 예를 제공할 수 있습니다. 단항식 a의 차수는 a가 1이므로 1과 같습니다. 단항식 5의 거듭제곱은 0이 아니며 표기법에 변수가 포함되어 있지 않기 때문에 0입니다. 그리고 곱 7·a 2 ·x·y 3 ·a 2는 모든 변수 a, x, y의 지수의 합이 2+1+3+2=8이기 때문에 8차 단항식입니다.
그런데, 표준형으로 표기되지 않은 단항식의 차수는 해당 표준형의 단항식의 차수와 같습니다. 이를 설명하기 위해 단항식의 차수를 계산해 보겠습니다. 3 x 2 y 3 x (−2) x 5 y. 이 표준 형식의 단항식은 −6·x 8 ·y 4 형식을 가지며 차수는 8+4=12입니다. 따라서 원래 단항식의 차수는 12입니다.
단항계수
표기법에 하나 이상의 변수가 있는 표준 형식의 단항식은 단일 수치 요소, 즉 수치 계수를 갖는 곱입니다. 이 계수를 단항계수라고 합니다. 위의 주장을 정의의 형태로 공식화해 보겠습니다.
정의.
단항계수표준 형식으로 작성된 단항식의 수치 인자입니다.
이제 다양한 단항식의 계수에 대한 예를 제시할 수 있습니다. 숫자 5는 정의에 따라 단항식 5·a 3의 계수입니다. 마찬가지로 단항식 (−2,3)·x·y·z의 계수는 −2,3입니다.
1과 −1과 같은 단항식의 계수는 특별한 주의를 기울일 가치가 있습니다. 여기서 중요한 점은 일반적으로 녹음에 명시적으로 나타나지 않는다는 것입니다. 표기법에 수치적 요소가 없는 표준 형식 단항식의 계수는 1과 같다고 믿어집니다. 예를 들어, 단항식 a, x·z 3, a·t·x 등. a는 1·a, x·z 3 - 1·x·z 3 등으로 간주될 수 있으므로 계수는 1입니다.
마찬가지로, 표준 형식의 항목이 수치 요소를 갖지 않고 빼기 기호로 시작하는 단항식 계수는 빼기 1로 간주됩니다. 예를 들어, 단항식 −x, −x 3 y z 3 등. −x=(−1) x이므로 계수 −1을 가집니다. −x 3 y z 3 =(−1) x 3 y z 3등.
그런데, 단항식의 계수 개념은 문자 요소가 없는 숫자인 표준 형식의 단항식으로 종종 언급됩니다. 이러한 단항수의 계수는 이러한 숫자로 간주됩니다. 예를 들어, 단항식 7의 계수는 7과 같은 것으로 간주됩니다.
참고자료.
- 대수학:교과서 7학년용. 일반 교육 기관 / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; 편집자 S. A. Telyakovsky. - 17판. -M .: 교육, 2008. - 240p. : 아픈. - ISBN 978-5-09-019315-3.
- 모르드코비치 A.G.대수학. 7학년. 2시간 후. 1부. 일반 교육 기관 학생을 위한 교과서 / A. G. Mordkovich. - 17판, 추가. - M .: Mnemosyne, 2013. - 175 p .: 아픈. ISBN 978-5-346-02432-3.
- Gusev V. A., Mordkovich A. G.수학(기술학교 지원자를 위한 매뉴얼): Proc. 수당.-M.; 더 높은 학교, 1984.-351 p., 아픈.
이번 단원에서 우리는 단항식의 엄격한 정의를 제공할 것입니다. 다양한 예교과서에서. 동일한 밑수로 거듭제곱을 곱하는 규칙을 기억해 보겠습니다. 단항식의 표준 형식, 단항식의 계수 및 문자 부분을 정의해 보겠습니다. 단항식에 대한 두 가지 주요 일반적인 연산, 즉 표준 형식으로의 축소와 여기에 포함된 리터럴 변수의 주어진 값에 대한 단항식의 특정 수치 계산을 고려해 보겠습니다. 단항식을 표준형으로 줄이는 규칙을 공식화해 보겠습니다. 단항식으로 표준 문제를 해결하는 방법을 알아봅시다.
주제:단항식. 단항식에 대한 산술 연산
수업:단항식의 개념. 단항식의 표준 형태
몇 가지 예를 고려해보세요:
3. 
;
주어진 표현의 공통적인 특징을 찾아봅시다. 세 가지 경우 모두에서 표현식은 숫자와 변수의 거듭제곱을 곱한 것입니다. 이를 바탕으로 우리는 단항 정의 : 단항식은 거듭제곱과 숫자의 곱으로 구성된 대수적 표현입니다.
이제 우리는 단항식이 아닌 표현의 예를 제시합니다:
이 표현과 이전 표현의 차이점을 찾아보겠습니다. 예제 4-7에는 덧셈, 뺄셈 또는 나눗셈 연산이 있지만 단항식인 예제 1-3에는 이러한 연산이 없다는 사실로 구성됩니다.
다음은 몇 가지 추가 예입니다.
표현식 번호 8은 거듭제곱과 숫자의 곱이므로 단항식인 반면, 예 9는 단항식이 아닙니다.
이제 알아봅시다 단항식에 대한 동작 .
1. 단순화. 예제 3을 살펴보겠습니다. ;그리고 예 2번 /
두 번째 예에서는 계수가 하나만 표시됩니다. 각 변수는 한 번만 발생합니다. 즉, 변수 " 에이"는 단일 복사본에서 ""로 표시됩니다. 마찬가지로 변수 "" 및 ""는 한 번만 나타납니다.
반대로 예 3에는 두 가지가 있습니다. 다른 계수- 그리고 변수 ""가 두 번 표시됩니다. - ""와 ""로 마찬가지로 변수 ""가 두 번 나타납니다. 즉, 이 표현은 단순화되어야 하며, 따라서 우리는 다음과 같은 결론에 도달합니다. 단항식에 대해 수행되는 첫 번째 작업은 단항식을 표준 형식으로 줄이는 것입니다. . 이를 위해 예제 3의 표현식을 표준 형식으로 축소한 다음 이 연산을 정의하고 단항식을 표준 형식으로 축소하는 방법을 알아봅니다.
예를 들어 보겠습니다.
표준 형식으로 축소 작업의 첫 번째 작업은 항상 모든 수치 요소를 곱하는 것입니다.
;
이 작업의 결과는 다음과 같습니다. 단항식의 계수 .
다음으로 힘을 곱해야합니다. 변수의 거듭제곱을 곱해 봅시다 " 엑스"동일한 밑수를 사용하여 거듭제곱을 곱하는 규칙에 따르면, 곱할 때 지수가 더해집니다.
이제 힘을 배가하자 " ~에»:
;
따라서 단순화된 표현은 다음과 같습니다.
;
모든 단항식은 표준 형식으로 축소될 수 있습니다. 공식화하자 표준화 규칙 :
모든 수치 요소를 곱합니다.
결과 계수를 첫 번째 위치에 배치합니다.
모든 각도를 곱하면 문자 부분을 얻을 수 있습니다.
즉, 모든 단항식은 계수와 문자 부분으로 특징지어집니다. 앞을 보면, 동일한 문자 부분을 가진 단항체를 유사하다고 합니다.
이제 우리는 운동해야 해 단항식을 표준형으로 줄이는 기술 . 교과서의 예를 고려하십시오.
할당: 단항식을 표준 형식으로 가져오고 계수와 문자 부분의 이름을 지정합니다.
작업을 완료하기 위해 단항식을 표준 형식으로 축소하는 규칙과 거듭제곱의 속성을 사용합니다.
1. 
;
3. 
;
첫 번째 예에 대한 설명: 먼저 이 식이 정말 단항식인지 판단해 보겠습니다. 이를 위해 수와 거듭제곱의 연산이 포함되어 있는지, 덧셈, 뺄셈, 나눗셈 연산이 포함되어 있는지 확인하겠습니다. 위의 조건을 만족하므로 이 식은 단항식이라고 할 수 있다. 다음으로, 단항식을 표준 형식으로 줄이는 규칙에 따라 수치 요소를 곱합니다.
- 주어진 단항식의 계수를 찾았습니다.
; ; ; 즉, 표현의 문자적인 부분이 얻어집니다:;
답을 적어보자: ;
두 번째 예에 대한 설명: 우리가 수행하는 규칙에 따라:
1) 수치적 요소를 곱합니다:
2) 힘을 곱하십시오 :
변수는 단일 복사본으로 제공됩니다. 즉, 아무것도 곱할 수 없으며 변경 없이 다시 작성되고 차수가 곱해집니다.
답을 적어보자:
;
이 예에서 단항식의 계수는 1이고 문자 부분은 입니다.
세 번째 예에 대한 설명:이전 예와 유사하게 다음 작업을 수행합니다.
1) 수치적 요소를 곱합니다:
;
2) 힘을 곱하십시오 :
;
답을 적어보자: ;
안에 이 경우단항식의 계수는 ""이고 문자 부분은 
.
이제 고려해 봅시다 단항식에 대한 두 번째 표준 연산 . 단항식은 특정 값을 취할 수 있는 리터럴 변수로 구성된 대수식이므로 숫자 값, 그러면 계산해야 하는 산술 수치 표현이 있습니다. 즉, 다항식에 대한 다음 연산은 다음과 같습니다. 특정 수치 계산 .
예를 살펴보겠습니다. 주어진 단항식:
이 단항식은 이미 표준 형식으로 축소되었으며 계수는 1이고 문자 부분은
앞에서 우리는 대수식을 항상 계산할 수는 없다고 말했습니다. 즉, 대수식에 포함된 변수는 어떤 값도 가질 수 없습니다. 단항식의 경우, 그 안에 포함된 변수는 무엇이든 될 수 있습니다. 이것이 단항식의 특징입니다.
따라서 주어진 예에서는 , , , 에서 단항식의 값을 계산해야 합니다.
단항식은 학교 대수학 과정에서 공부하는 주요 표현 유형 중 하나입니다. 이 자료에서는 이러한 표현이 무엇인지 설명하고, 표준 형식을 정의하고 예를 보여주며, 단항식의 차수 및 계수와 같은 관련 개념도 이해합니다.
단항식이란 무엇입니까?
학교 교과서는 일반적으로 이 개념에 대해 다음과 같은 정의를 제공합니다.
정의 1
단항식에는 다음이 포함됩니다숫자, 변수 및 자연 지수를 사용한 거듭제곱 다른 유형그로부터 편집된 작품.
이 정의를 바탕으로 그러한 표현의 예를 제시할 수 있습니다. 따라서 모든 숫자 2, 8, 3004, 0, - 4, - 6, 0, 78, 1 4, - 4 3 7은 단항식이 됩니다. 모든 변수(예: x, a, b, p, q, t, y, z)도 정의에 따라 단항식입니다. 여기에는 변수와 숫자의 거듭제곱도 포함됩니다(예: 6 3, (− 7, 41) 7, x 2 및 15시, 65 · x, 9 · (− 7) · x · y 3 · 6, x · x · y 3 · x · y 2 · z 등의 형태의 표현. 단항식은 하나의 숫자나 변수 또는 여러 개를 포함할 수 있으며 하나의 다항식에서 여러 번 언급될 수 있습니다.
정수, 유리수, 자연수와 같은 숫자 유형도 단항식에 속합니다. 여기에 실수와 복소수를 포함할 수도 있습니다. 따라서 2 + 3 · i · x · z 4, 2 · x, 2 · π · x 3 형식의 표현도 단항식이 됩니다.
단항식의 표준 형식은 무엇이며 표현식을 이를 변환하는 방법
사용의 용이성을 위해 모든 단항식은 먼저 표준이라는 특수 형식으로 축소됩니다. 이것이 무엇을 의미하는지 구체적으로 공식화해 보겠습니다.
정의 2
단항식의 표준 형태수치적 요인과 다양한 변수의 자연력을 곱한 형태라고 합니다. 단항식 계수라고도 하는 숫자 요소는 일반적으로 왼쪽에 먼저 작성됩니다.
명확성을 위해 표준 형식의 여러 단항식을 선택해 보겠습니다. 6(이것은 변수가 없는 단항식입니다), 4 · a, − 9 · x 2 · y 3, 2 3 5 · x 7. 여기에는 표현도 포함됩니다. xy(여기서 계수는 1과 같습니다) - x 3(여기서 계수는 -1입니다).
이제 표준 형식으로 변환해야 하는 단항식의 예를 제공합니다. 4 2 3(여기서는 동일한 변수를 결합해야 합니다), 5 x (− 1) 3 y 2(여기서 왼쪽의 수치적 요소를 결합해야 합니다).
일반적으로 단항식에 문자로 작성된 여러 변수가 있는 경우 문자 요소는 알파벳 순서로 작성됩니다. 예를 들어 다음과 같이 쓰는 것이 좋습니다. 6 a b 4 c z 2, 어떻게 b 4 6 a z 2 c. 다만, 계산 목적에 따라 순서가 다를 수 있습니다.
모든 단항식은 표준 형식으로 축소될 수 있습니다. 이렇게 하려면 필요한 모든 ID 변환을 수행해야 합니다.
단항식의 개념
단항식의 정도에 대한 개념은 매우 중요합니다. 이 개념의 정의를 적어 보겠습니다.
정의 3
단항식의 힘으로표준 형식으로 작성된 는 표기법에 포함된 모든 변수의 지수 합계입니다. 단일 변수가 없고 단항식 자체가 0과 다른 경우 해당 차수는 0이 됩니다.
단항식의 거듭제곱의 예를 들어보겠습니다.
실시예 1
따라서 단항식 a는 a = a 1이므로 차수는 1과 같습니다. 단항식 7이 있으면 변수가 없고 0과 다르기 때문에 차수가 0입니다. 그리고 녹음은 이렇습니다 7a2xy3a2포함된 변수의 모든 차수에 대한 지수의 합은 8과 같기 때문에 8차 단항식이 됩니다. 2 + 1 + 3 + 2 = 8 .
표준 형식으로 축소된 단항식과 원래 다항식은 동일한 차수를 갖습니다.
실시예 2
단항식의 차수를 계산하는 방법을 보여드리겠습니다. 3 x 2 y 3 x (− 2) x 5 y. 표준형에서는 다음과 같이 쓸 수 있다. − 6 x 8 y 4. 우리는 학위를 계산합니다. 8 + 4 = 12 . 이는 원래 다항식의 차수가 12와 같다는 것을 의미합니다.
단항계수의 개념
최소한 하나의 변수를 포함하는 표준 형식으로 축소된 단항식을 가지고 있다면 이를 하나의 수치 요소를 가진 곱으로 이야기합니다. 이 요소를 수치 계수 또는 단항 계수라고 합니다. 정의를 적어보자.
정의 4
단항식의 계수는 표준 형식으로 축소된 단항식의 수치 인자입니다.
다양한 단항식의 계수를 예로 들어 보겠습니다.
실시예 3
그래서 표현에 8시 3분계수는 숫자 8이고 (− 2 , 3) x y z그들은 그럴 것이다 − 2 , 3 .
1과 마이너스 1과 같은 계수에 특별한 주의를 기울여야 합니다. 원칙적으로 명시적으로 표시되지 않습니다. 수치 인자가 없는 표준 형식의 단항식에서 계수는 예를 들어 a, x · z 3, a · t · x 표현식에서 1과 같다고 믿어집니다. 1 · a, x · z 3으로 간주 – 어떻게 1xz3등.
마찬가지로 수치적 요소가 없고 빼기 기호로 시작하는 단항식에서는 -1을 계수로 간주할 수 있습니다.
실시예 4
예를 들어, 표현식 − x, − x 3 · y · z 3은 − x = (− 1) · x, − x 3 · y · z 3 = (− 1)로 표현될 수 있으므로 이러한 계수를 갖습니다. ) · x 3 y z 3 등
단항식에 단일 문자 인수가 전혀 없으면 이 경우 계수에 대해 이야기할 수 있습니다. 이러한 단항수의 계수는 이러한 숫자 자체가 됩니다. 예를 들어, 단항식 9의 계수는 9와 같습니다.
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1. 양의 정수 계수. 양수 +5는 산술 숫자 5와 일치하는 것으로 간주되므로 단항식 +5a를 가정해 보겠습니다.
5a = a ∙ 5 = a + a + a + a + a.
또한 +7xy² = xy² ∙ 7 = xy² + xy² + xy² + xy² + xy² + xy² + xy²; +3a³ = a³ ∙ 3 = a³ + a³ + a³; +2abc = abc ∙ 2 = abc + abc 등등.
이러한 예를 바탕으로 양의 정수 계수는 단항식의 문자 인자(또는 문자 인자의 곱)가 가수에 의해 반복되는 횟수를 나타냄을 확인할 수 있습니다.
예를 들어 다항식에서 상상 속에서 즉시 상상할 수 있을 정도로 이것에 익숙해져야 합니다.
3a + 4a² + 5a³
문제는 먼저 a²가 용어로 3번 반복되고, 그 다음 a³가 용어로 4번 반복되고, 그 다음 a가 용어로 5번 반복된다는 사실로 귀결됩니다.
또한: 2a + 3b + c = a + a + b + b + b + c
x³ + 2xy² + 3y³ = x³ + xy² + xy² + y³ + y³ + y³ 등
2. 양의 분수 계수. 단항식 +a를 봅시다. 양수 +가 산술 숫자와 일치하므로 +a = a ∙ 즉, 숫자 a의 4분의 3을 취해야 합니다. 즉,
따라서 분수 양수 계수는 단항식의 문자 인수 중 몇 번이나 부분이 가수에 의해 반복되는지를 보여줍니다.
다항식 
다음과 같은 형식으로 쉽게 표현되어야 합니다.
등등.
3. 음의 계수. 상대 숫자의 곱셈을 알면 예를 들어 (+5) ∙ (-3) = (-5) ∙ (+3) 또는 (-5) ∙ (-3) = (+5)와 같이 쉽게 설정할 수 있습니다. ∙ (+ 3) 또는 일반적으로 a ∙ (-3) = (-a) ∙ (+3); 또한 a ∙ (–) = (–a) ∙ (+) 등
따라서 음의 계수를 갖는 단항식(예: –3a)을 취하면
–3a = a ∙ (–3) = (–a) ∙ (+3) = (–a) ∙ 3 = – a – a – a (–a는 3번 용어로 사용됩니다).
이 예에서 음수 계수는 단항식의 문자 부분 또는 빼기 기호가 포함된 특정 분수가 용어에 의해 반복되는 횟수를 나타냅니다.
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