닮음삼각형을 이용한 피타고라스 정리의 증명. 피타고라스의 정리를 증명하는 여러 가지 방법. 비밀 수도원 명령

이야기

추페이 기원전 500-200년. 왼쪽에는 비문이 있습니다. 높이와 밑면 길이의 제곱의 합은 빗변 길이의 제곱입니다.

고대 중국의 책 추페이(Chu-pei)에서 영어) (중국어 周髀算經)은 변이 3, 4, 5인 피타고라스 삼각형에 대해 이야기합니다. 같은 책은 바샤라의 힌두 기하학 그림 중 하나와 일치하는 그림을 제공합니다.

기원전 400년경. BC, Proclus에 따르면 플라톤은 대수학과 기하학을 결합하여 피타고라스 삼중항을 찾는 방법을 제공했습니다. 기원전 300년경. 이자형. 피타고라스 정리의 가장 오래된 공리적 증명은 유클리드의 원소론에 등장했습니다.

제제

기하학적 공식:

정리는 원래 다음과 같이 공식화되었습니다.

대수 공식:

즉, 삼각형의 빗변의 길이를 로 나타내고, 다리의 길이를 과로 나타냅니다.

정리의 두 공식은 동일하지만 두 번째 공식은 면적의 개념이 필요하지 않습니다. 즉, 두 번째 명제는 넓이에 대해 아무것도 모르고 직각삼각형의 변의 길이만 측정하면 검증할 수 있습니다.

역 피타고라스 정리:

모든 세 개의 양수 , 및 에 대해 다리와 빗변이 있는 직각삼각형이 존재합니다.

증거

현재 이 정리에 대한 367개의 증거가 과학 문헌에 기록되어 있습니다. 아마도 피타고라스의 정리는 그토록 인상적인 수의 증명을 가진 유일한 정리일 것입니다. 그러한 다양성은 기하학 정리의 근본적인 중요성에 의해서만 설명될 수 있습니다.

물론 개념적으로는 모두 소수의 클래스로 나눌 수 있습니다. 그 중 가장 유명한 것은 면적법에 의한 증명, 공리적이고 이국적인 증명(예: 미분 방정식 사용)입니다.

비슷한 삼각형을 통해

대수적 공식에 대한 다음 증명은 공리로부터 직접 구성된 가장 간단한 증명입니다. 특히, 도형의 넓이 개념을 사용하지 않습니다.

허락하다 알파벳직각을 가진 직각삼각형이 있어요 기음. 높이를 그려봅시다 기음그리고 그 기반을 다음과 같이 표시합니다. 시간. 삼각형 ACH삼각형과 비슷하다 알파벳두 모퉁이에. 마찬가지로 삼각형 CBH비슷한 알파벳. 표기법을 도입하여

우리는 얻는다

동등한 것은 무엇입니까?

그것을 더하면, 우리는 얻는다.

, 이는 입증이 필요한 것입니다.

면적법을 사용한 증명

아래 증명은 겉보기 단순함에도 불구하고 전혀 간단하지 않습니다. 그들은 모두 면적의 속성을 사용하는데, 그 증명은 피타고라스 정리 자체의 증명보다 더 복잡합니다.

등보체를 통한 증명

그림 1과 같이 4개의 동일한 직각삼각형을 배열해 보겠습니다.
측면이 있는 사각형 기음두 예각의 합이 90°이고 직각이 180°이므로 정사각형입니다.
전체 그림의 면적은 한편으로는 변(a + b)이 있는 정사각형의 면적과 같고, 다른 한편으로는 네 개의 삼각형의 면적과 내부 광장의 면적.

Q.E.D.

유클리드의 증명

유클리드 증명의 아이디어는 다음과 같습니다. 빗변 위에 만들어진 정사각형의 면적의 절반이 다리에 만들어진 정사각형의 절반 면적의 합과 같다는 것을 증명해 보겠습니다. 큰 정사각형과 두 개의 작은 정사각형은 같습니다.

왼쪽 그림을 살펴보자. 그 위에 우리는 직각삼각형의 변에 정사각형을 만들고 꼭지점에서 그렸습니다. 직각빗변 AB에 수직인 광선을 사용하면 빗변 위에 만들어진 정사각형 ABIK를 각각 BHJI와 HAKJ라는 두 개의 직사각형으로 자릅니다. 이 직사각형의 면적은 해당 다리에 만들어진 정사각형의 면적과 정확히 동일하다는 것이 밝혀졌습니다.

정사각형 DECA의 면적이 직사각형 AHJK의 면적과 동일하다는 것을 증명해 보겠습니다. 이를 위해 보조 관찰을 사용합니다. 높이와 밑변이 같은 삼각형의 면적. 주어진 직사각형은 주어진 직사각형 면적의 절반과 같습니다. 이는 삼각형의 면적을 밑변과 높이의 곱의 절반으로 정의한 결과입니다. 이 관찰에 따르면 삼각형 ACK의 면적은 삼각형 AHK의 면적(그림에는 표시되지 않음)과 같고 이는 결국 직사각형 AHJK 면적의 절반과 같습니다.

이제 삼각형 ACK의 면적이 정사각형 DECA 면적의 절반과 같다는 것을 증명해 보겠습니다. 이를 위해 수행해야 할 유일한 일은 삼각형 ACK와 BDA의 동등성을 증명하는 것입니다(삼각형 BDA의 면적은 위의 속성에 따라 정사각형 면적의 절반과 같기 때문입니다). 이 평등은 명백합니다. 삼각형은 양쪽이 동일하고 그 사이의 각도도 동일합니다. 즉 - AB=AK, AD=AC - CAK와 BAD 각도의 동일성은 운동 방법으로 쉽게 증명할 수 있습니다. 삼각형 CAK를 시계 반대 방향으로 90° 회전하면 두 삼각형의 해당 변이 질문은 일치합니다(정사각형 꼭지점의 각도가 90°이기 때문에).

정사각형 BCFG와 직사각형 BHJI의 면적이 동일하다는 이유는 완전히 유사합니다.

따라서 우리는 빗변 위에 만들어진 정사각형의 면적이 다리에 만들어진 정사각형의 면적으로 구성된다는 것을 증명했습니다. 이 증명의 배경이 되는 아이디어는 위의 애니메이션에서 더 자세히 설명됩니다.

레오나르도 다빈치의 증거

증명의 주요 요소는 대칭성과 운동이다.

대칭에서 볼 수 있듯이 그림을 고려해 보겠습니다. 세그먼트는 사각형을 두 개의 동일한 부분으로 자릅니다(삼각형의 구성이 동일하기 때문에).

점을 중심으로 시계 반대 방향으로 90도 회전을 사용하면 음영 처리된 그림이 동일함을 알 수 있습니다.

이제 우리가 음영 처리한 그림의 면적은 작은 사각형(다리에 만들어진) 면적의 절반과 원래 삼각형 면적의 합과 같다는 것이 분명합니다. 반면에 빗변 위에 만들어진 큰 정사각형의 면적에 원래 삼각형의 면적을 더한 값의 절반과 같습니다. 따라서 작은 정사각형 면적의 합 절반은 큰 정사각형 면적의 절반과 같으므로 다리에 쌓인 정사각형 면적의 합은 다리에 쌓인 정사각형 면적과 같습니다. 빗변.

극미량 방법에 의한 증명

미분방정식을 이용한 다음 증명은 20세기 전반에 살았던 영국의 유명한 수학자 하디(Hardy)의 작품으로 알려져 있는 경우가 많습니다.

그림에 표시된 도면을 보고 옆면의 변화를 관찰해 보세요. 에이, 우리는 무한한 측면 증분에 대해 다음 관계를 작성할 수 있습니다. 와 함께그리고 에이(삼각형 유사성 사용):

변수 분리 방법을 사용하여 다음을 찾습니다.

양쪽 증분의 경우 빗변의 변화에 대한 보다 일반적인 표현

이 방정식을 통합하고 초기 조건을 사용하여 다음을 얻습니다.

그리하여 우리는 원하는 답에 도달한다

쉽게 알 수 있듯이, 최종 공식의 2차 의존성은 삼각형의 변과 증분 사이의 선형 비례로 인해 나타나는 반면, 합은 서로 다른 변의 증분에 따른 독립적인 기여와 연관되어 있습니다.

다리 중 하나가 증가하지 않는다고 가정하면 더 간단한 증명을 얻을 수 있습니다. 이 경우다리). 그런 다음 적분 상수에 대해 우리는 다음을 얻습니다.

변형 및 일반화

세 면의 유사한 기하학적 모양

유사삼각형에 대한 일반화, 녹색 도형의 면적 A + B = 파란색 C의 면적

닮은 직각삼각형을 이용한 피타고라스의 정리

유클리드는 그의 연구에서 피타고라스의 정리를 일반화했습니다. 시작, 측면의 사각형 영역을 유사한 기하학적 도형의 영역으로 확장합니다.

직각 삼각형의 측면에 유사한 기하학적 도형 (유클리드 기하학 참조)을 구성하면 두 개의 작은 도형의 합은 더 큰 도형의 면적과 같습니다.

이 일반화의 주요 아이디어는 이러한 기하학적 도형의 면적이 선형 치수의 제곱, 특히 모든 변의 길이의 제곱에 비례한다는 것입니다. 따라서 면적이 비슷한 수치에 대해서는 에이, 비그리고 기음길이가 있는 측면에 구축됨 에이, 비그리고 기음, 우리는 다음을 가지고 있습니다 :

그러나 피타고라스의 정리에 따르면, 에이 2 + 비 2 = 기음 2 그럼 에이 + 비 = 기음.

반대로 증명할 수 있다면 에이 + 비 = 기음피타고라스의 정리를 사용하지 않고 세 개의 유사한 기하학적 도형에 대해 반대 방향으로 이동하면서 정리 자체를 증명할 수 있습니다. 예를 들어 시작 중심 삼각형을 삼각형으로 재사용할 수 있습니다. 기음빗변과 두 개의 유사한 직각삼각형( 에이그리고 비)는 중앙 삼각형을 높이로 나누어 형성된 다른 두 변에 세워졌습니다. 두 개의 작은 삼각형의 면적의 합은 분명히 세 번째 삼각형의 면적과 같습니다. 에이 + 비 = 기음그리고 이전 증명을 역순으로 수행하여 피타고라스 정리 a 2 + b 2 = c 2 를 얻습니다.

코사인 정리

피타고라스의 정리는 특별한 경우임의의 삼각형의 변의 길이와 관련된 보다 일반적인 코사인 정리:

여기서 θ는 측면 사이의 각도입니다. 에이그리고 비.

θ가 90도이면 cos θ = 0이고 공식은 일반적인 피타고라스 정리로 단순화됩니다.

프리 트라이앵글

측면이 있는 임의의 삼각형의 선택된 모서리로 에이, 비, 씨밑변 θ의 동일한 각도가 선택한 각도와 동일하도록 이등변 삼각형을 내접해 보겠습니다. 선택한 각도 θ가 지정된 변의 반대쪽에 위치한다고 가정합니다. 기음. 결과적으로 우리는 측면 반대편에 위치한 각도 θ의 삼각형 ABD를 얻었습니다. 에이그리고 파티 아르 자형. 두 번째 삼각형은 측면 반대편에 위치한 각도 θ로 형성됩니다. 비그리고 파티 와 함께길이 에스그림과 같이. Thabit Ibn Qurra는 이 세 삼각형의 변이 다음과 같이 관련되어 있다고 주장했습니다.

각도 θ가 π/2에 가까워질수록 이등변삼각형의 밑변은 작아지고 두 변 r과 s는 점점 덜 겹치게 됩니다. θ = π/2일 때 ADB는 직각삼각형이 되고, 아르 자형 + 에스 = 기음그리고 우리는 초기 피타고라스 정리를 얻습니다.

주장 중 하나를 고려해 봅시다. 삼각형 ABC는 삼각형 ABD와 각도가 동일하지만 순서가 반대입니다. (두 삼각형은 꼭지점 B에서 공통 각도를 가지며, 둘 다 각도 θ를 가지며 삼각형 각도의 합을 기준으로 동일한 세 번째 각도도 갖습니다.) 따라서 ABC는 다음과 같이 삼각형 DBA의 반사 ABD와 유사합니다. 아래 그림에 나와 있습니다. 대변과 각도 θ에 인접한 변의 관계를 적어보자.

또 다른 삼각형의 반영이기도 하고,

분수를 곱하고 다음 두 비율을 더해 보겠습니다.

Q.E.D.

평행사변형을 통한 임의의 삼각형 일반화

임의의 삼각형에 대한 일반화,
녹지 플롯 = 면적파란색

위 그림의 논문 증명

정사각형 대신 세 변의 평행사변형을 사용하여 직각이 아닌 삼각형에 대한 추가 일반화를 만들어 보겠습니다. (사각형은 특별한 경우입니다.) 상단 그림은 예각 삼각형의 경우 긴 변의 평행 사변형 면적이 다른 두 변의 평행 사변형의 합과 동일하다는 것을 보여줍니다. 측면은 그림과 같이 구성됩니다(화살표로 표시된 치수는 동일하며 아래쪽 평행사변형의 측면을 결정합니다). 정사각형을 평행사변형으로 대체하는 것은 서기 4년에 알렉산드리아의 파푸스(Pappus of Alexandria)가 공식화한 것으로 생각되는 피타고라스의 초기 정리와 분명히 유사합니다. 이자형.

하단 그림은 증명의 진행 상황을 보여줍니다. 삼각형의 왼쪽 변을 봅시다. 왼쪽 녹색 평행사변형은 밑변이 동일하므로 파란색 평행사변형의 왼쪽과 면적이 같습니다. 비그리고 키 시간. 또한 왼쪽 녹색 평행사변형은 공통 밑변(삼각형의 왼쪽 상단)과 삼각형의 해당 측면에 수직인 공통 높이를 공유하기 때문에 위쪽 그림의 왼쪽 녹색 평행사변형과 동일한 면적을 갖습니다. 삼각형의 오른쪽 변에 대해서도 유사한 추론을 사용하여 아래쪽 평행사변형이 두 개의 녹색 평행사변형과 동일한 면적을 갖는다는 것을 증명할 것입니다.

복소수

피타고라스 정리는 데카르트 좌표계에서 두 점 사이의 거리를 찾는 데 사용되며 이 정리는 모든 실제 좌표에 유효합니다. 에스두 점 사이( 에, 비) 그리고 ( CD) 같음

복소수가 실수 구성 요소가 있는 벡터로 처리되면 공식에 문제가 없습니다. 엑스 + 나는 y = (엑스, 와이). . 예를 들어, 거리 에스 0 + 1 사이 나그리고 1 + 0 나벡터의 계수로 계산됨 (0, 1) − (1, 0) = (−1, 1), 또는

그러나 복잡한 좌표를 가진 벡터를 연산하려면 피타고라스 공식을 일부 개선해야 합니다. 복소수가 있는 점 사이의 거리( 에이, 비) 그리고 ( 기음, 디); 에이, 비, 기음, 그리고 디모두 복잡하므로 절대값을 사용하여 공식화합니다. 거리 에스벡터 차이 기반 (에이 − 기음, 비 − 디) 다음과 같은 형식으로: 차이를 두세요 에이 − 기음 = 피+나 큐, 어디 피- 차이점의 실제 부분, 큐는 허수부이고 i = √(−1)입니다. 마찬가지로 비 − 디 = 아르 자형+나 에스. 그 다음에:

에 대한 복소공액수는 어디에 있습니까? 예를 들어 점 사이의 거리 (에이, 비) = (0, 1) 그리고 (기음, 디) = (나, 0) , 차이를 계산해 봅시다 (에이 − 기음, 비 − 디) = (−나, 1) 복합 공액을 사용하지 않으면 결과는 0이 됩니다. 따라서 개선된 공식을 사용하면 다음을 얻습니다.

모듈은 다음과 같이 정의됩니다.

입체 측정

3차원 공간에 대한 피타고라스 정리의 중요한 일반화는 J.-P.의 이름을 딴 드 고이의 정리입니다. de Gois: 사면체가 직각을 갖는 경우(입방체에서와 같이) 직각 반대편의 면 면적의 제곱은 다른 세 면 면적의 제곱의 합과 같습니다. 이 결론은 " N-차원 피타고라스 정리":

3차원 공간에서의 피타고라스 정리는 대각선 AD를 3개의 변과 연관시킵니다.

또 다른 일반화: 피타고라스 정리는 다음과 같은 형식으로 입체 측정에 적용될 수 있습니다. 그림과 같이 직육면체를 생각해 보세요. 피타고라스 정리를 사용하여 대각선 BD의 길이를 구해 보겠습니다.

여기서 세 변이 직각삼각형을 이룬다. 수평 대각선 BD와 수직 모서리 AB를 사용하여 대각선 AD의 길이를 찾습니다. 이를 위해 다시 피타고라스 정리를 사용합니다.

또는 모든 것을 하나의 방정식으로 쓴다면:

이 결과는 벡터의 크기를 결정하는 3차원 표현입니다. 다섯(대각선 AD)는 수직 구성요소( 다섯 k ) (서로 수직인 3개의 변):

이 방정식은 다차원 공간에 대한 피타고라스 정리의 일반화로 간주될 수 있습니다. 그러나 결과는 실제로 연속적으로 수직인 평면에 있는 일련의 직각삼각형에 피타고라스 정리를 반복적으로 적용한 것에 지나지 않습니다.

벡터 공간

벡터의 직교 시스템의 경우 피타고라스 정리라고도 불리는 등식이 있습니다.

이것이 벡터를 좌표축에 투영하는 경우 이 공식은 유클리드 거리와 일치하며 벡터의 길이가 해당 구성 요소의 제곱합의 제곱근과 같음을 의미합니다.

무한한 벡터 시스템의 경우 이러한 평등의 유사성을 Parseval의 평등이라고 합니다.

비유클리드 기하학

피타고라스 정리는 유클리드 기하학의 공리에서 파생되었으며 실제로 위에 쓰여진 형식의 비유클리드 기하학에는 유효하지 않습니다. (즉, 피타고라스의 정리는 유클리드의 평행성 가정과 일종의 등가임이 밝혀진다.) 즉 비유클리드 기하학에서는 삼각형의 변 사이의 관계가 필연적으로 피타고라스의 정리와 다른 형태가 될 것이다. 예를 들어, 구형 기하학에서 직각 삼각형의 세 변은 모두 (예: 에이, 비그리고 기음)는 단위 구의 팔분원(8분의 1 부분)을 제한하며 길이가 π/2이며 이는 피타고라스 정리와 모순됩니다. 에이 2 + 비 2 ≠ 기음 2 .

여기서 비유클리드 기하학의 두 가지 경우, 즉 구형 기하학과 쌍곡선 기하학을 고려해 보겠습니다. 두 경우 모두 직각 삼각형의 유클리드 공간과 마찬가지로 피타고라스 정리를 대체하는 결과는 코사인 정리를 따릅니다.

그러나 삼각형이 직사각형이라는 요구 사항이 삼각형의 두 각도의 합이 세 번째 각도와 같아야 한다는 조건으로 대체되면 피타고라스의 정리는 쌍곡선 및 타원 기하학에 대해 여전히 유효합니다. 에이+비 = 기음. 그러면 변 사이의 관계는 다음과 같습니다. 원의 면적과 지름의 합 에이그리고 비직경이 있는 원의 면적과 같습니다. 기음.

구형 기하학

반경이 있는 구의 직각 삼각형의 경우 아르 자형(예를 들어 삼각형의 각도 γ가 직각인 경우) 에이, 비, 기음당사자 간의 관계는 다음과 같습니다.

이 동등성은 모든 구면 삼각형에 유효한 구면 코사인 정리의 특별한 경우로 파생될 수 있습니다.

여기서 cosh는 쌍곡선 코사인입니다. 이 공식은 모든 삼각형에 유효한 쌍곡선 코사인 정리의 특별한 경우입니다.

여기서 γ는 정점이 측면과 반대인 각도입니다. 기음.

어디 g ij메트릭 텐서라고 합니다. 위치에 따른 기능일 수도 있습니다. 이러한 곡선 공간에는 일반적인 예로 리만 기하학이 포함됩니다. 이 공식은 곡선 좌표를 사용할 때 유클리드 공간에도 적합합니다. 예를 들어 극좌표의 경우:

벡터 아트워크

피타고라스 정리는 벡터 곱의 크기에 대한 두 가지 표현을 연결합니다. 외적을 정의하는 한 가지 접근 방식은 다음 방정식을 충족해야 합니다.

이 공식은 내적을 사용합니다. 방정식의 우변을 그람 결정자(Gram determinant)라고 합니다. 에이그리고 비, 이는 이 두 벡터로 구성된 평행사변형의 면적과 같습니다. 이 요구 사항과 벡터 제품이 해당 구성 요소에 수직이어야 한다는 요구 사항을 기반으로 합니다. 에이그리고 비따라서 0차원과 1차원 공간의 사소한 경우를 제외하고 외적은 3차원과 7차원에서만 정의됩니다. 우리는 각도의 정의를 사용합니다. N-차원 공간:

외적의 이 속성은 다음과 같이 크기를 제공합니다.

피타고라스의 기본적인 삼각법적 항등식을 통해 우리는 그 값을 쓰는 또 다른 형태를 얻습니다.

외적을 정의하는 또 다른 접근 방식은 크기에 대한 표현식을 사용하는 것입니다. 그런 다음 역순으로 추론하여 스칼라 곱과의 연결을 얻습니다.

또한보십시오

메모

역사주제: 바빌로니아 수학의 피타고라스 정리
( , 351쪽) 351쪽
(, 1권, 144쪽)
논의 역사적 사실(, p. 351) p.351에 나와 있습니다.
쿠르트 폰 프리츠(1945년 4월). “메타폰툼의 히파소스에 의한 비공약성의 발견”. 수학 연대기, 두 번째 시리즈(수학연대기) 46 (2): 242–264.
루이스 캐럴, “매듭 이야기”, M., Mir, 1985, p. 7
아스거 아보에수학의 초기 역사에 관한 에피소드. - 미국수학협회, 1997. - P. 51. - ISBN 0883856131
파이썬 제안엘리샤 스콧 루미스
유클리드의 강요: 제6권, 명제 VI 31: "직각삼각형에서 직각을 이루는 변의 도형은 직각을 포함하는 변의 유사하고 유사하게 설명된 도형과 같습니다."
로렌스 S. 레프 인용된 저작물. - Barron의 교육 시리즈 - P. 326. - ISBN 0764128922
하워드 휘틀리 이브스§4.8:...피타고라스 정리의 일반화 // 수학의 위대한 순간(1650년 이전). - 미국수학협회, 1983. - P. 41. - ISBN 0883853108
Tâbit ibn Qorra(전체 이름 Thābit ibn Qurra ibn Marwan Al-Ṣābiʾ al-Ḥarrānī)(826-901 AD)는 바그다드에 거주하는 의사였으며 유클리드 원소와 기타 수학적 주제에 대해 광범위하게 저술했습니다.
아이딘 사일리(1960년 3월). "Thâbit ibn Qurra" 피타고라스 정리의 일반화." 이시스 51 (1): 35~37. DOI:10.1086/348837.
주디스 D. 샐리, 폴 샐리연습 2.10 (ii) // 인용된 저작물. - 62 페이지 - ISBN 0821844032
그러한 건설에 대한 자세한 내용은 다음을 참조하십시오. 조지 제닝스그림 1.32: 일반화된 피타고라스 정리 // 응용이 가능한 현대 기하학: 150개의 숫자. - 3위. - Springer, 1997. - P. 23. - ISBN 038794222X
알렌 브라운, 칼 M. 피어시목 기음: 임의의 규범 N-tuple ... // 분석 소개 . - 스프링거, 1995. - P. 124. - ISBN 0387943692 47~50페이지도 참조하세요.
알프레드 그레이, 엘사 아베나, 사이먼 살라몬 Mathematica를 이용한 곡선과 곡면의 현대적인 미분 기하학. - 3위. - CRC Press, 2006. - P. 194. - ISBN 1584884487
라젠드라 바티아매트릭스 분석. - Springer, 1997. - P. 21. - ISBN 0387948465
스티븐 W. 호킹 인용된 저작물. - 2005. - 4 페이지 - ISBN 0762419229

피타고라스의 정리: 다리에 닿는 정사각형의 면적의 합( 에이그리고 비), 빗변 위에 세워진 정사각형의 면적과 같습니다 ( 기음).

기하학적 공식:

정리는 원래 다음과 같이 공식화되었습니다.

대수 공식:

즉, 삼각형의 빗변의 길이를 다음과 같이 나타냅니다. 기음, 그리고 다리의 길이 에이그리고 비 :

에이 2 + 비 2 = 기음 2

역 피타고라스 정리:

증거

비슷한 삼각형을 통해

대수적 공식에 대한 다음 증명은 공리로부터 직접 구성된 가장 간단한 증명입니다. 특히, 도형의 넓이 개념을 사용하지 않습니다.

우리는 얻는다

동등한 것은 무엇입니까?

그것을 더하면, 우리는 얻는다.

면적법을 사용한 증명

등보체를 통한 증명

그림 1과 같이 4개의 동일한 직각삼각형을 배열해 보겠습니다.
측면이 있는 사각형 기음두 예각의 합이 90°이고 직각이 180°이므로 정사각형입니다.
전체 그림의 면적은 한편으로는 측면 (a + b)이 있는 정사각형의 면적과 동일하고 다른 한편으로는 4개의 삼각형과 2개의 내부 면적의 합과 같습니다. 사각형.

Q.E.D.

동등성을 통한 증명

순열을 사용한 우아한 증명

그러한 증명 중 하나의 예가 오른쪽 그림에 나와 있는데, 여기서 빗변 위에 만들어진 정사각형은 다리 위에 만들어진 두 개의 정사각형으로 재배열됩니다.

유클리드의 증명

유클리드 증명을 위한 그림

왼쪽 그림을 살펴보자. 그 위에 우리는 직각 삼각형의 변에 정사각형을 구성하고 빗변 AB에 수직인 직각 C의 꼭지점에서 광선 s를 그렸습니다. 빗변 위에 만들어진 정사각형 ABIK를 두 개의 직사각형(BHJI 및 HAKJ)으로 자릅니다. 각기. 이 직사각형의 면적은 해당 다리에 만들어진 정사각형의 면적과 정확히 동일하다는 것이 밝혀졌습니다.

이제 삼각형 ACK의 면적이 정사각형 DECA 면적의 절반과 같다는 것을 증명해 보겠습니다. 이를 위해 수행해야 할 유일한 일은 삼각형 ACK와 BDA의 동등성을 증명하는 것입니다(삼각형 BDA의 면적은 위의 속성에 따라 정사각형 면적의 절반과 같기 때문입니다). 평등은 명백합니다. 삼각형은 양쪽이 동일하고 그 사이의 각도도 동일합니다. 즉, - AB=AK,AD=AC - CAK와 BAD 각도의 동일성은 운동 방법으로 쉽게 증명할 수 있습니다. 삼각형 CAK를 시계 반대 방향으로 90° 회전하면 두 삼각형의 해당 변이 다음과 같습니다. 질문은 일치할 것입니다(정사각형 꼭지점의 각도가 90°이기 때문에).

정사각형 BCFG와 직사각형 BHJI의 면적이 동일하다는 이유는 완전히 유사합니다.

레오나르도 다빈치의 증거

증명의 주요 요소는 대칭성과 운동이다.

대칭에서 볼 수 있듯이 세그먼트를 그림으로 고려해 봅시다. 기음나정사각형을 자른다 에이비시간제이 두 개의 동일한 부분으로 (삼각형 이후 에이비기음그리고 제이시간나건축면에서는 동일합니다). 시계 반대 방향으로 90도 회전하면 음영 처리된 수치가 동일함을 알 수 있습니다. 기음에이제이나 그리고 G디에이비 . 이제 우리가 음영 처리한 그림의 면적은 다리에 만들어진 사각형 면적의 절반과 원래 삼각형 면적의 합과 같다는 것이 분명합니다. 반면에 빗변 위에 만들어진 정사각형의 면적의 절반에 원래 삼각형의 면적을 더한 것과 같습니다. 증명의 마지막 단계는 독자의 몫입니다.

극미량 방법에 의한 증명

미분방정식을 이용한 다음 증명은 20세기 전반에 살았던 영국의 유명한 수학자 하디(Hardy)의 작품으로 알려져 있는 경우가 많습니다.

극미량 방법에 의한 증명

변수 분리 방법을 사용하여 다음을 찾습니다.

양쪽 증분의 경우 빗변의 변화에 대한 보다 일반적인 표현

이 방정식을 통합하고 초기 조건을 사용하여 다음을 얻습니다.

기음 2 = 에이 2 + 비 2 + 상수.

그리하여 우리는 원하는 답에 도달한다

기음 2 = 에이 2 + 비 2 .

다리 중 하나가 증가하지 않는다고 가정하면 더 간단한 증명을 얻을 수 있습니다(이 경우 다리는 비). 그런 다음 적분 상수에 대해 우리는 다음을 얻습니다.

변형 및 일반화

정사각형 대신 측면에 다른 유사한 그림을 구성하면 피타고라스 정리의 다음 일반화가 참입니다. 직각삼각형에서 비슷한 도형의 변에 쌓인 넓이의 합은 빗변에 쌓인 도형의 넓이와 같습니다.특히:
- 다리를 이루는 정삼각형의 넓이의 합은 빗변을 이루는 정삼각형의 넓이와 같습니다.
- 다리에 만들어진 반원 면적의 합(지름과 마찬가지로)은 빗변에 만들어진 반원의 면적과 같습니다. 이 예는 두 원의 호로 둘러싸여 있고 히포크라테스 루눌라(Hippocratic lunulae)라고 불리는 인물의 속성을 증명하는 데 사용됩니다.

이야기

추페이(Chu-pei) 기원전 500-200년. 왼쪽에는 비문이 있습니다. 높이와 밑면 길이의 제곱의 합은 빗변 길이의 제곱입니다.

고대 중국 책인 추페이(Chu-pei)는 변이 3, 4, 5인 피타고라스 삼각형에 대해 이야기합니다. 같은 책은 바샤라(Bashara)의 힌두 기하학 그림 중 하나와 일치하는 그림을 제공합니다.

칸토어(독일의 가장 위대한 수학 역사가)는 평등 3² + 4² = 5²가 기원전 2300년경 이집트인들에게 이미 알려졌었다고 믿습니다. 즉, 아메넴하트 1세 왕 시대(베를린 박물관의 파피루스 6619에 따르면)입니다. 칸토어에 따르면, 하페도나프테스(harpedonaptes) 또는 "줄을 당기는 사람"은 변의 길이가 3, 4, 5인 직각삼각형을 사용하여 직각을 만들었습니다.

건설 방법을 재현하는 것은 매우 쉽습니다. 길이 12m의 밧줄을 가져다가 3m 거리에 컬러 스트립을 묶습니다. 한쪽 끝에서 다른 쪽 끝까지 4미터. 직각은 3미터와 4미터 길이의 변 사이에 둘러싸이게 됩니다. 예를 들어 모든 목수가 사용하는 나무 사각형을 사용하면 그들의 건축 방법이 불필요해진다는 것이 Harpedonaptians에 반대할 수 있습니다. 실제로, 목수의 작업장을 묘사하는 그림과 같이 그러한 도구가 발견되는 이집트 그림이 알려져 있습니다.

바빌로니아 사람들 사이에는 피타고라스의 정리에 대해 더 많은 것이 알려져 있습니다. 함무라비 시대, 즉 기원전 2000년으로 거슬러 올라가는 한 텍스트에서. 즉, 직각 삼각형의 빗변에 대한 대략적인 계산이 제공됩니다. 이것으로부터 우리는 메소포타미아에서는 적어도 어떤 경우에는 직각삼각형으로 계산을 수행할 수 있었다는 결론을 내릴 수 있습니다. 한편으로는 이집트와 바빌로니아 수학에 대한 현재 지식 수준과 다른 한편으로는 그리스 자료에 대한 비판적 연구를 바탕으로 Van der Waerden(네덜란드 수학자)은 다음과 같은 결론에 도달했습니다.

문학

러시아어로

스코페츠 Z.A.기하학적 미니어처. 엠., 1990
Elensky Shch.피타고라스의 발자취를 따라. 엠., 1961년
반 데르 워든 B. L.깨어나는 과학. 수학 고대 이집트, 바빌론과 그리스. 엠., 1959년
글레이저 G.I.학교 수학의 역사. 엠., 1982
W. 리츠만, “피타고라스 정리” M., 1960.
- 수많은 증거가 있는 피타고라스 정리에 관한 사이트, V. Litzmann의 책에서 가져온 자료, 다수의 그림이 별도의 그래픽 파일 형식으로 제공됩니다.
피타고라스 정리와 피타고라스는 D. V. Anosov의 저서 "수학과 그로부터의 내용"의 장을 세 배로 늘립니다.
피타고라스의 정리와 이를 증명하는 방법 G. Glaser, 모스크바 러시아 교육 아카데미 학자

영어로

WolframMathWorld의 피타고라스 정리
Cut-The-Knot, 피타고라스 정리 섹션, 약 70가지 증명 및 광범위한 추가 정보(영어)

위키미디어 재단.

2010.

그러나 그 이름은 그가 정리를 증명할 수 있었던 최초이자 유일한 사람이라는 이유 때문에 과학자를 기리기 위해 받았습니다.

독일의 수학 역사가 칸토어는 이 정리가 기원전 2300년경 이집트인들에게 알려졌다고 주장했습니다. 이자형. 그는 이전에는 각 변의 길이가 3, 4, 5인 직각 삼각형을 사용하여 직각을 구성했다고 믿었습니다.

유명한 과학자 케플러는 기하학에는 대체할 수 없는 보물이 있다고 말했습니다. 이것은 기하학의 대부분의 정리를 추론할 수 있는 피타고라스의 정리입니다. 이전에는 피타고라스의 정리를 '신부의 정리' 또는 '요정의 정리'라고 불렀습니다. 그리고 요점은 그녀의 그림이 나비나 님프와 매우 유사하다는 것입니다. 아랍인들은 정리의 본문을 번역할 때 님프가 신부를 의미한다고 결정했습니다. 그리고 그렇게 나타났다흥미로운 이름

정리에.

피타고라스 정리, 공식

정리

– 직각 삼각형에서 다리의 제곱의 합()은 빗변의 제곱()과 같습니다. 이것은 유클리드 기하학의 기본 정리 중 하나입니다.

이미 언급했듯이 다양한 수학적 접근 방식을 사용하여 정리에 대한 다양한 증명이 있습니다. 그러나 면적 정리가 더 자주 사용됩니다.

삼각형 위에 정사각형을 만들어 봅시다( 파란색, 녹색, 빨간색)

즉, 다리에 만들어진 정사각형의 면적의 합은 빗변에 만들어진 정사각형의 면적과 같습니다. 따라서 이 사각형의 면적은 – 와 같습니다. 이것이 피타고라스의 기하학적 설명이다.

면적법을 이용한 정리 증명: 첫 번째 방법

그것을 증명해 봅시다.

다리 a, b, 빗변 c가 있는 동일한 삼각형을 생각해 봅시다.

직각삼각형을 정사각형으로 완성합니다. 다리 "a"에서 다리 "b"(빨간색 선)까지 위쪽으로 선을 계속 그립니다.
다음으로 새 다리 "a"의 선을 오른쪽(녹색 선)으로 그립니다.
두 다리를 빗변 "c"로 연결합니다.

거꾸로 된 동일한 삼각형이 나옵니다.

반대쪽에서도 비슷하게 만듭니다. 다리 "a"에서 다리 "b"의 선을 그리고 "a"와 "b" 아래로 그리고 다리 "b"의 바닥에서 다리 "a"의 선을 그립니다. 빗변 "c"가 각 다리의 중앙에 그려졌습니다. 따라서 빗변은 중앙에 정사각형을 형성했습니다.

이 정사각형은 4개의 동일한 삼각형으로 구성되어 있습니다. 그리고 각 직각 삼각형의 면적은 다리의 곱의 절반입니다. 각각 . 그리고 4개의 빗변이 모두 변을 가지므로 중앙에 있는 정사각형의 면적 = 입니다. 사각형은 변의 크기가 같고 각의 크기가 맞습니다. 각도가 옳다는 것을 어떻게 증명할 수 있나요? 매우 간단합니다. 같은 사각형을 보겠습니다.

우리는 그림에 표시된 두 각도가 90도라는 것을 알고 있습니다. 삼각형이 동일하므로 다리 "b"의 다음 각도가 이전 다리 "b"와 동일하다는 의미입니다.

이 두 각도의 합 = 90도입니다. 따라서 이전 각도도 90도입니다. 물론 반대쪽도 마찬가지다. 따라서 우리는 실제로 직각을 가진 정사각형을 가지고 있습니다.

직각삼각형의 예각의 합은 90도이므로, 사각형의 각도 90도가 됩니다. 각 3개를 더하면 180도가 되기 때문입니다.

따라서 정사각형의 넓이는 동일한 직각삼각형의 네 넓이와 빗변으로 이루어진 정사각형의 넓이의 합이 됩니다.

따라서 우리는 변이 있는 정사각형을 얻었습니다. 우리는 변이 있는 정사각형의 면적이 그 변의 정사각형이라는 것을 알고 있습니다. 즉 . 이 정사각형은 네 개의 동일한 삼각형으로 구성되어 있습니다.

그리고 이것은 우리가 피타고라스의 정리를 증명했다는 것을 의미합니다.

중요한!!!빗변을 찾으면 두 다리를 더한 다음 근에서 답을 도출합니다. 다리 중 하나를 구할 때: 두 번째 다리 길이의 제곱에서 빗변 길이의 제곱을 빼고 제곱근을 구합니다.

문제 해결의 예

실시예 1

일

주어진 값: 다리 4와 5가 있는 직각삼각형.

빗변을 찾아보세요. 지금은 "c"로 표시하겠습니다.

해결책

다리의 제곱의 합은 빗변의 제곱과 같습니다. 우리의 경우 – .

피타고라스의 정리를 사용해 봅시다:

그래서, , 그리고 . 다리를 합하면 41이 된다.

그 다음에 . 즉, 빗변의 제곱은 41입니다.

41의 제곱 = 6.4.

빗변을 찾았습니다.

답변

빗변 = 6.4

100% 확신할 수 있는 한 가지는 빗변의 제곱이 무엇인지 묻는 질문에 성인이라면 누구나 "다리의 제곱의 합"이라고 과감하게 대답할 것이라는 점입니다. 이 정리는 교육받은 모든 사람의 마음 속에 확고히 자리 잡고 있지만 누군가에게 그것을 증명하도록 요청하면 어려움이 발생할 수 있습니다. 그러니 기억하고 생각해 봅시다. 다른 방법피타고라스 정리의 증명.

간략한 전기

피타고라스의 정리는 거의 모든 사람에게 친숙하지만 어떤 이유로 그것을 세상에 가져온 사람의 전기는 그다지 인기가 없습니다. 이 문제는 해결될 수 있습니다. 그러므로 피타고라스의 정리를 증명하는 다양한 방법을 탐구하기 전에 먼저 그의 성격을 간략히 알아볼 필요가 있습니다.

피타고라스 - 원래 오늘날 출신의 철학자, 수학자, 사상가인 이 위대한 사람을 기념하여 발전한 전설과 그의 전기를 구별하는 것은 매우 어렵습니다. 그러나 그의 추종자들의 작품에 따르면 사모스의 피타고라스는 사모스 섬에서 태어났습니다. 그의 아버지는 평범한 석재 절단공이었지만 그의 어머니는 귀족 가문 출신이었다.

전설에 따르면 피타고라스의 탄생은 피티아(Pythia)라는 여성에 의해 예측되었으며, 그 이름을 따서 소년의 이름을 지었습니다. 그녀의 예측에 따르면, 태어난 소년은 인류에게 많은 유익과 선을 가져올 것으로 예상되었습니다. 그가 한 일이 바로 그것이다.

정리의 탄생

젊었을 때 피타고라스는 이집트의 유명한 현자들을 만나기 위해 이집트로 이주했습니다. 그들과 만난 후 그는 공부할 수 있었고 그곳에서 이집트 철학, 수학 및 의학의 모든 위대한 업적을 배웠습니다.

피타고라스가 피라미드의 장엄함과 아름다움에 영감을 받아 그의 위대한 이론을 창안한 곳은 아마도 이집트에서였을 것입니다. 이것은 독자들에게 충격을 줄 수 있지만 현대 역사가들은 피타고라스가 자신의 이론을 증명하지 못했다고 믿습니다. 그러나 그는 자신의 지식을 추종자들에게만 전달했고, 추종자들은 나중에 필요한 모든 수학적 계산을 완료했습니다.

그러나 오늘날 이 정리를 증명하는 방법은 한 가지가 아니라 동시에 여러 가지 방법으로 알려져 있습니다. 오늘날 우리는 고대 그리스인들이 계산을 정확히 어떻게 수행했는지 추측할 수만 있으므로 여기서는 피타고라스 정리를 증명하는 다양한 방법을 살펴보겠습니다.

피타고라스의 정리

계산을 시작하기 전에 어떤 이론을 증명하고 싶은지 파악해야 합니다. 피타고라스의 정리는 다음과 같습니다. “한 각이 90°인 삼각형에서 다리의 제곱의 합은 빗변의 제곱과 같습니다.”

피타고라스의 정리를 증명하는 방법은 총 15가지가 있습니다. 이는 상당히 많은 숫자이므로 가장 인기 있는 항목에 주목하겠습니다.

방법 1

먼저, 우리에게 주어진 것이 무엇인지 정의해 봅시다. 이 데이터는 피타고라스 정리를 증명하는 다른 방법에도 적용되므로 사용 가능한 모든 표기법을 즉시 기억할 가치가 있습니다.

다리 a, b와 빗변 c가 있는 직각 삼각형이 있다고 가정합니다. 첫 번째 증명 방법은 직각삼각형에서 정사각형을 그려야 한다는 사실에 기초합니다.

이렇게 하려면 다리 b와 동일한 세그먼트를 다리 길이 a에 추가해야 하며 그 반대의 경우도 마찬가지입니다. 이렇게 하면 정사각형의 두 변이 동일해집니다. 남은 것은 두 개의 평행선을 그리는 것뿐입니다. 그러면 정사각형이 준비됩니다.

결과 그림 안에는 원래 삼각형의 빗변과 같은 변을 가진 또 다른 정사각형을 그려야 합니다. 이렇게 하려면 정점 ас 및 св에서 с와 동일한 두 개의 평행 세그먼트를 그려야 합니다. 따라서 우리는 정사각형의 세 변을 얻습니다. 그 중 하나는 원래 직각 삼각형의 빗변입니다. 남은 것은 네 번째 세그먼트를 그리는 것뿐입니다.

결과 수치를 바탕으로 바깥쪽 정사각형의 면적은 (a + b) 2라는 결론을 내릴 수 있습니다. 그림 내부를 보면 안쪽 정사각형 외에 직각삼각형 4개가 있는 것을 알 수 있습니다. 각각의 면적은 0.5av입니다.

따라서 면적은 다음과 같습니다. 4 * 0.5ab + c 2 = 2av + c 2

따라서 (a+c) 2 =2ab+c 2

따라서 c 2 =a 2 +b 2

정리가 입증되었습니다.

방법 2: 닮은꼴 삼각형

피타고라스의 정리를 증명하기 위한 이 공식은 기하학의 유사 삼각형에 관한 부분의 진술을 바탕으로 도출되었습니다. 직각 삼각형의 다리는 빗변과 90° 각도의 꼭지점에서 나오는 빗변 부분에 비례하는 평균이라고 명시되어 있습니다.

초기 데이터는 동일하므로 바로 증명부터 시작하겠습니다. 변 AB에 수직인 선분 CD를 그려 보겠습니다. 위의 설명에 따르면 삼각형의 변은 동일합니다.

AC=√AB*AD, SV=√AB*DV.

피타고라스 정리를 증명하는 방법에 대한 질문에 대답하려면 두 부등식을 제곱하여 증명을 완료해야 합니다.

AC 2 = AB * AD 및 CB 2 = AB * DV

이제 결과적인 불평등을 더해야 합니다.

AC 2 + CB 2 = AB * (AD * DV), 여기서 AD + DV = AB

다음과 같이 밝혀졌습니다.

AC 2 + CB 2 =AB*AB

따라서:

AC 2 + CB 2 = AB 2

피타고라스 정리의 증명과 다양한 방법그 솔루션에는 이 문제에 대한 다각적인 접근 방식이 필요합니다. 그러나 이 옵션은 가장 간단한 옵션 중 하나입니다.

또 다른 계산 방법

피타고라스 정리를 증명하는 다양한 방법에 대한 설명은 직접 연습을 시작할 때까지 아무 의미가 없을 수도 있습니다. 많은 기술에는 수학적 계산뿐만 아니라 원래 삼각형에서 새로운 도형을 구성하는 것도 포함됩니다.

이 경우 BC 변에서 또 다른 직각삼각형 VSD를 완성해야 합니다. 따라서 이제 공통변 BC를 갖는 두 개의 삼각형이 있습니다.

유사한 도형의 면적은 유사한 선형 치수의 제곱과 비율을 갖는다는 것을 알면 다음과 같습니다.

S avs * c 2 - S avd * in 2 = S avd * a 2 - S vsd * a 2

S avs *(2 - 2에서) = a 2 *(S avd -S vsd)

2 - 2 =a 2

c 2 =a 2 +b 2

8학년에 대한 피타고라스 정리를 증명하는 다양한 방법 중 이 옵션은 거의 적합하지 않으므로 다음 방법을 사용할 수 있습니다.

피타고라스 정리를 증명하는 가장 쉬운 방법. 리뷰

역사가들에 따르면, 이 방법은 19세기에 정리를 증명하는 데 처음으로 사용되었습니다. 고대 그리스. 계산이 전혀 필요하지 않기 때문에 가장 간단합니다. 그림을 올바르게 그리면 a 2 + b 2 = c 2라는 진술의 증거가 명확하게 표시됩니다.

이 방법의 조건은 이전 방법과 약간 다릅니다. 정리를 증명하기 위해 직각삼각형 ABC가 이등변이라고 가정합니다.

빗변 AC를 정사각형의 변으로 삼아 그 세 변을 그립니다. 또한 결과 사각형에 두 개의 대각선을 그리는 것이 필요합니다. 그러면 그 안에 네 개의 이등변삼각형이 생깁니다.

또한 다리 AB와 CB에 정사각형을 그리고 각 다리에 하나의 대각선 직선을 그려야 합니다. 정점 A에서 첫 번째 선을 그리고 C에서 두 번째 선을 그립니다.

이제 결과 도면을주의 깊게 살펴 봐야합니다. 빗변 AC에는 원래 삼각형과 동일한 4개의 삼각형이 있고 측면에는 2개가 있으므로 이는 이 정리의 진실성을 나타냅니다.

그런데 피타고라스 정리를 증명하는 이 방법 덕분에 "피타고라스 바지는 모든 방향에서 동일하다"라는 유명한 문구가 탄생했습니다.

J. Garfield의 증명

제임스 가필드(James Garfield)는 미국의 20대 대통령입니다. 그는 미국의 통치자로서 역사에 이름을 남겼을 뿐만 아니라 재능 있는 독재자이기도 했습니다.

경력 초기에 그는 공립학교의 일반 교사였지만 곧 고등 교육 기관 중 한 곳의 이사가 되었습니다. 자기 발전에 대한 열망으로 인해 그는 피타고라스 정리를 증명하기 위한 새로운 이론을 제안할 수 있었습니다. 정리와 그 해의 예는 다음과 같습니다.

먼저 종이에 두 개의 직각 삼각형을 그려서 그 중 하나의 다리가 두 번째 다리의 연속이 되도록 해야 합니다. 이 삼각형의 꼭지점은 최종적으로 사다리꼴을 형성하도록 연결되어야 합니다.

아시다시피, 사다리꼴의 면적은 밑면과 높이의 합의 절반을 곱한 것과 같습니다.

S=a+b/2 * (a+b)

결과 사다리꼴을 세 개의 삼각형으로 구성된 그림으로 간주하면 해당 영역은 다음과 같이 찾을 수 있습니다.

S=av/2 *2 + s 2 /2

이제 두 개의 원래 표현식을 동일화해야 합니다.

2ab/2 + c/2=(a+b) 2 /2

c 2 =a 2 +b 2

피타고라스의 정리와 그 증명 방법에 관해 한 권 이상의 책을 쓸 수도 있습니다. 교육 보조. 하지만 이 지식을 실제로 적용할 수 없는 경우가 있습니까?

피타고라스 정리의 실제 적용

불행하게도 현대 학교 커리큘럼에서는 기하학적 문제에만 이 정리를 사용할 수 있습니다. 졸업생들은 자신의 지식과 기술을 실제로 어떻게 적용할 수 있는지 알지 못한 채 곧 학교를 떠날 것입니다.

사실 피타고라스의 정리는 일상생활에서 누구나 사용할 수 있습니다. 전문적인 활동뿐만 아니라 일상적인 집안일에도 마찬가지입니다. 피타고라스의 정리와 이를 증명하는 방법이 극도로 필요할 수 있는 몇 가지 경우를 고려해 보겠습니다.

정리와 천문학의 관계

종이 위의 별과 삼각형이 어떻게 연결될 수 있는지 보일 것입니다. 실제로 천문학은 피타고라스의 정리가 널리 활용되는 과학 분야이다.

예를 들어, 공간에서 광선의 움직임을 생각해 보십시오. 빛은 같은 속도로 양방향으로 이동하는 것으로 알려져 있습니다. 광선이 이동하는 궤적을 AB라고 부르자 엘. 그리고 빛이 A지점에서 B지점으로 가는 데 걸리는 시간을 절반으로 부르자. 티. 그리고 빔의 속도 - 기음. 다음과 같이 밝혀졌습니다. c*t=l

예를 들어 속도 v로 움직이는 우주 정기선과 같은 다른 평면에서 이 동일한 광선을 보면 이러한 방식으로 물체를 관찰할 때 속도가 변경됩니다. 이 경우 고정된 요소도 속도 v로 반대 방향으로 움직이기 시작합니다.

만화 정기선이 오른쪽으로 항해하고 있다고 가정해 보겠습니다. 그런 다음 빔이 돌진하는 지점 A와 B가 왼쪽으로 이동하기 시작합니다. 또한 빔이 A 지점에서 B 지점으로 이동할 때 A 지점은 이동할 시간이 있으므로 빛은 이미 새로운 지점 C에 도달합니다. A 지점이 이동한 거리의 절반을 찾으려면 다음을 곱해야 합니다. 빔 이동 시간(t")의 절반만큼 라이너 속도를 높입니다.

그리고 이 시간 동안 빛의 광선이 얼마나 멀리 이동할 수 있는지 알아보려면 경로의 절반을 새 문자 s로 표시하고 다음 식을 얻어야 합니다.

빛의 점 C와 B와 공간 라이너가 이등변삼각형의 꼭지점이라고 가정하면 점 A에서 라이너까지의 세그먼트가 이를 두 개의 직각삼각형으로 나눕니다. 따라서 피타고라스의 정리를 통해 빛의 광선이 이동할 수 있는 거리를 알 수 있습니다.

물론 이 예는 가장 성공적인 것은 아닙니다. 실제로 이를 시도해 볼 수 있을 만큼 운이 좋은 사람은 소수에 불과하기 때문입니다. 그러므로 이 정리를 좀 더 일상적으로 적용하는 방법을 고려해 보겠습니다.

모바일 신호 전송 범위

현대인의 삶은 더 이상 스마트폰 없이는 상상할 수 없습니다. 하지만 이동통신으로 가입자를 연결할 수 없다면 얼마나 유용할까요?!

이동통신의 품질은 이동통신사의 안테나가 위치한 높이에 직접적으로 좌우됩니다. 휴대폰이 신호를 수신할 수 있는 모바일 타워의 거리를 계산하려면 피타고라스 정리를 적용하면 됩니다.

반경 200km 내에서 신호를 분배할 수 있도록 고정 타워의 대략적인 높이를 찾아야 한다고 가정해 보겠습니다.

AB(타워 높이) = x;

BC(신호 전송 반경) = 200km;

OS(지구의 반경) = 6380km;

OB=OA+ABOB=r+x

피타고라스의 정리를 적용하면 탑의 최소 높이는 2.3km가 되어야 한다는 것을 알 수 있습니다.

일상 생활에서의 피타고라스 정리

이상하게도 피타고라스의 정리는 예를 들어 옷장의 높이를 결정하는 것과 같은 일상적인 문제에서도 유용할 수 있습니다. 언뜻보기에는 줄자를 사용하여 간단히 측정 할 수 있기 때문에 그렇게 복잡한 계산을 사용할 필요가 없습니다. 그러나 많은 사람들은 모든 측정이 정확 이상으로 이루어지면 조립 과정에서 왜 특정 문제가 발생하는지 궁금해합니다.

사실 옷장은 수평 위치로 조립된 다음 벽에 올려서 설치됩니다. 따라서 구조물을 들어 올리는 과정에서 캐비닛의 측면은 공간의 높이와 대각선을 따라 자유롭게 움직여야 합니다.

깊이가 800mm인 옷장이 있다고 가정해 보겠습니다. 바닥에서 천장까지의 거리 - 2600mm. 숙련된 가구 제작자는 캐비닛 높이가 방 높이보다 126mm 낮아야 한다고 말합니다. 그런데 왜 정확히 126mm입니까? 예를 살펴보겠습니다.

이상적인 캐비닛 크기로 피타고라스 정리의 작동을 확인해 보겠습니다.

AC =√AB 2 +√BC 2

AC = √2474 2 +800 2 =2600 mm - 모든 것이 맞습니다.

캐비닛의 높이가 2474mm가 아니라 2505mm라고 가정해 보겠습니다. 그 다음에:

AC=√2505 2 +√800 2 =2629mm.

따라서 이 캐비닛은 이 방에 설치하기에 적합하지 않습니다. 수직으로 들어올리면 본체가 손상될 수 있기 때문입니다.

아마도 다양한 과학자들이 피타고라스 정리를 증명하는 다양한 방법을 고려한 결과 그것이 사실 이상이라는 결론을 내릴 수 있을 것입니다. 이제 일상 생활에서 받은 정보를 활용하여 모든 계산이 유용할 뿐만 아니라 정확할 것이라는 확신을 가질 수 있습니다.

피타고라스의 정리는 다음과 같이 말합니다.

직각 삼각형에서 다리의 제곱의 합은 빗변의 제곱과 같습니다.

a 2 + b 2 = c 2,

에이그리고 비– 다리가 직각을 이루고 있습니다.
와 함께– 삼각형의 빗변.

피타고라스 정리의 공식

a = \sqrt(c^(2) - b^(2))
b = \sqrt (c^(2) - a^(2))
c = \sqrt (a^(2) + b^(2))

피타고라스 정리의 증명

직각 삼각형의 면적은 다음 공식으로 계산됩니다.

S = \frac(1)(2) ab

임의의 삼각형의 면적을 계산하려면 면적 공식은 다음과 같습니다.

피– 반 둘레. p=\frac(1)(2)(a+b+c) ,
아르 자형– 내접원의 반경. 직사각형의 경우 r=\frac(1)(2)(a+b-c).

그런 다음 삼각형 면적에 대한 두 공식의 우변을 동일시합니다.

\frac(1)(2) ab = \frac(1)(2)(a+b+c) \frac(1)(2)(a+b-c)

2 ab = (a+b+c) (a+b-c)

2 ab = \left((a+b)^(2) -c^(2) \right)

2 ab = a^(2)+2ab+b^(2)-c^(2)

0=a^(2)+b^(2)-c^(2)

c^(2) = a^(2)+b^(2)

역 피타고라스 정리:

삼각형의 한 변의 제곱이 다른 두 변의 제곱의 합과 같으면 그 삼각형은 직각삼각형입니다. 즉, 양수의 세 배에 대해 에, 비그리고 기음, 그렇게

a 2 + b 2 = c 2,

다리가 있는 직각삼각형이 있어요 에이그리고 비그리고 빗변 기음.

피타고라스의 정리- 유클리드 기하학의 기본 정리 중 하나로서 직각 삼각형의 변 사이의 관계를 설정합니다. 이는 박식한 수학자이자 철학자인 피타고라스에 의해 증명되었습니다.

정리의 의미요점은 다른 정리를 증명하고 문제를 해결하는 데 사용될 수 있다는 것입니다.

추가 자료: