실제로 나누지 않고도 주어진 숫자가 다른 숫자로 나누어지는지 또는 나누어지지 않는지 알아내는 것이 때때로 쉬운 기호가 있습니다.
2로 나누어지는 수를 이라고 한다. 심지어. 숫자 0은 짝수를 의미하기도 합니다. 다른 모든 번호는 호출됩니다. 이상한:
0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ... - 짝수,
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ... - 홀수.
분열의 징후
2로 나누어지는지 테스트. 숫자의 마지막 숫자가 짝수이면 숫자는 2로 나누어집니다. 예를 들어, 숫자 4376은 마지막 숫자(6)가 짝수이므로 2로 나눌 수 있습니다.
3으로 나누어지는지 테스트. 자릿수의 합이 3으로 나누어지는 숫자만 3으로 나누어집니다. 예를 들어 숫자 10815는 자릿수 합 1 + 0 + 8 + 1 + 5 = 15가 3으로 나누어지기 때문에 3으로 나누어집니다.
4로 나누어지는지 테스트합니다.. 마지막 두 자리가 0이거나 4로 나누어지는 숫자를 형성하는 경우 숫자는 4로 나누어집니다. 예를 들어 숫자 244500은 두 개의 0으로 끝나기 때문에 4로 나누어집니다. 숫자 14708과 7524는 이 숫자의 마지막 두 자리(08과 24)가 4로 나누어지기 때문에 4로 나누어집니다.
5로 나누어지는지 테스트합니다.. 0이나 5로 끝나는 숫자는 5로 나누어집니다. 예를 들어 숫자 320은 마지막 숫자가 0이므로 5로 나누어집니다.
6으로 나누어지는지 테스트. 숫자가 2와 3으로 나누어지면 6으로 나누어집니다. 예를 들어 숫자 912는 2와 3으로 나누어지기 때문에 6으로 나누어집니다.
8로 나누어지는지 테스트합니다.. 마지막 세 자리 숫자가 0이거나 8로 나누어지는 숫자를 형성하는 경우 해당 숫자는 8로 나누어집니다. 예를 들어 숫자 27000은 3개의 0으로 끝나기 때문에 8로 나누어집니다. 숫자 63128은 마지막 세 자리가 8로 나누어지는 숫자(128)를 형성하기 때문에 8로 나누어집니다.
9로 나누어지는 테스트. 자릿수의 합이 9로 나누어지는 숫자만 9로 나누어집니다. 예를 들어 숫자 2637은 자릿수 합 2 + 6 + 3 + 7 = 18이 9로 나누어지기 때문에 9로 나누어집니다.
10, 100, 1000 등으로 나누어지는 기호 0 1개, 0 2개, 0 3개 등으로 끝나는 숫자는 10, 100, 1000 등으로 나누어집니다. 예를 들어, 숫자 3800은 10과 100으로 나누어집니다.
에 관한 일련의 기사 분열의 징후계속 3으로 나누어지는 테스트. 이 기사에서는 먼저 3으로 나누어지는 테스트의 공식화를 제공하고, 이 테스트를 사용하여 주어진 정수 중 어느 것이 3으로 나누어지는지, 그렇지 않은지를 알아내는 예를 제공합니다. 아래는 3의 나눗셈 테스트의 증명입니다. 또한 일부 표현의 값으로 주어진 숫자를 3으로 나누는 방법을 설정하는 방법도 고려됩니다.
페이지 탐색.
3으로 나누어지는지 테스트, 예
시작해보자 3으로 나누어지는 검정의 공식화: 정수의 자릿수 합이 3으로 나누어지면 정수는 3으로 나누어 떨어지지만, 주어진 숫자의 자릿수 합이 3으로 나누어지지 않으면 숫자 자체는 3으로 나누어지지 않습니다.
위의 공식으로부터 3에 의한 나눗셈 테스트는 수행 능력 없이는 사용될 수 없다는 것이 분명합니다. 또한 3의 나눗셈 테스트를 성공적으로 적용하려면 모든 숫자 중에서 3, 6, 9는 3으로 나누어 떨어지지만 1, 2, 4, 5, 7, 8은 3으로 나누어지지 않는다는 사실을 알아야 합니다. .
이제 우리는 가장 간단한 것을 고려할 수 있습니다 3으로 나누어지는 테스트를 사용하는 예. −42가 3으로 나누어지는지 알아봅시다. 이를 위해 숫자 -42의 자릿수 합계를 계산하면 4+2=6과 같습니다. 6은 3으로 나누어 떨어지기 때문에 3으로 나누어 떨어지는 수 테스트를 통해 숫자 -42도 3으로 나누어 떨어진다고 말할 수 있습니다. 그러나 양의 정수 71은 3으로 나누어지지 않습니다. 그 이유는 그 자릿수의 합이 7+1=8이고 8은 3으로 나누어지지 않기 때문입니다.
0은 3으로 나눌 수 있나요? 이 질문에 대답하려면 여기서는 3으로 나누어지는 테스트가 필요하지 않습니다. 가분성 속성, 이는 0이 임의의 정수로 나누어질 수 있음을 나타냅니다. 따라서 0은 3으로 나누어집니다.
어떤 경우에는 주어진 숫자가 3으로 나누어지는 능력이 있는지 여부를 보여주기 위해 3으로 나누어지는 테스트를 여러 번 연속해서 사용해야 합니다. 예를 들어 보겠습니다.
예.
숫자 907,444,812가 3으로 나누어지는 것을 보여주세요.
해결책.
907444812의 숫자의 합은 9+0+7+4+4+4+8+1+2=39입니다. 39가 3으로 나누어지는지 알아보기 위해 자릿수의 합을 계산해 보겠습니다. 3+9=12. 그리고 12가 3으로 나누어지는지 알아보기 위해 숫자 12의 자릿수의 합을 구하면 1+2=3이 됩니다. 3으로 나누어지는 숫자 3을 받았으므로 3으로 나누어지는 테스트를 통해 숫자 12는 3으로 나누어집니다. 따라서 39는 3으로 나누어집니다. 자릿수의 합이 12이고 12는 3으로 나누어지기 때문입니다. 마지막으로 907,333,812는 자릿수의 합이 39이고 39는 3으로 나누어지기 때문에 3으로 나누어집니다.
자료를 통합하기 위해 솔루션을 다른 예로 분석하겠습니다.
예.
−543,205는 3으로 나눌 수 있나요?
해결책.
이 숫자의 자릿수 합계를 계산해 보겠습니다. 5+4+3+2+0+5=19. 차례로, 숫자 19의 숫자의 합은 1+9=10이고, 숫자 10의 숫자의 합은 1+0=1입니다. 3으로 나누어지지 않는 숫자 1을 받았으므로 3으로 나누어지는 테스트에서 10은 3으로 나누어지지 않습니다. 따라서 19는 3으로 나누어지지 않습니다. 왜냐하면 그 자릿수의 합은 10이고, 10은 3으로 나누어지지 않기 때문입니다. 따라서 원래 숫자 −543,205는 3으로 나누어지지 않습니다. 그 이유는 그 숫자의 합인 19가 3으로 나누어지지 않기 때문입니다.
답변:
아니요.
주어진 숫자를 3으로 직접 나누면 주어진 숫자가 3으로 나누어지는지 여부를 결론 내릴 수 있다는 점은 주목할 가치가 있습니다. 이로써 우리는 3에 의한 나눗셈 기준을 선호하여 나눗셈을 무시해서는 안 된다고 말하고 싶습니다. 마지막 예인 543,205를 3으로 나누면 543,205가 3으로 균등하게 나누어지지 않음을 확인할 수 있으며, 이를 통해 −543,205는 3으로 나누어지지 않는다고 말할 수 있습니다.
3에 의한 나눗셈의 증명
숫자 a를 다음과 같이 표현하면 3의 나눗셈 테스트를 증명하는 데 도움이 됩니다. 어느 자연수 a n, a n−1, ..., a 0은 숫자 a 표기법에서 왼쪽에서 오른쪽으로의 숫자입니다. 명확성을 위해 다음과 같은 표현의 예를 제시합니다: 528=500+20+8=5·100+2·10+8.
이제 상당히 명백한 등식을 몇 가지 적어 보겠습니다. 10=9+1=3·3+1, 100=99+1=33·3+1, 1 000=999+1=333·3+1 등 .
평등으로 대체 a=an ·10 n +a n−1 ·10 n−1 +…+a 2 ·10 2 +a 1 ·10+a 0 10, 100, 1,000 등 대신에 3·3+1, 33·3+1, 999+1=333·3+1 등의 표현식을 사용하면
.
그리고 결과적인 동등성을 다음과 같이 다시 작성할 수 있습니다.
표현 
는 숫자 a의 숫자의 합입니다. 간결함과 편의를 위해 문자 A로 표시하겠습니다. 즉, 수락합니다. 그런 다음 우리는 3의 나눗셈 테스트를 증명하는 데 사용할 형식의 숫자 a에 대한 표현을 얻습니다.
또한 3에 의한 나눗셈 테스트를 증명하려면 다음과 같은 나눗셈 특성이 필요합니다.
- 정수 a가 정수 b로 나누어지기 위해서는 a가 b의 계수로 나누어지는 것이 필요하고 충분합니다.
- a=s+t 등식에서 하나를 제외한 모든 항이 어떤 정수 b로 나누어지면 이 항도 b로 나누어집니다.
이제 우리는 완벽하게 준비되어 실행에 옮길 수 있습니다. 3으로 나누어지는 증명, 편의상 이 기준을 3으로 나누기 위한 필요충분조건의 형태로 공식화합니다.
정리.
정수 a가 3으로 나누어지기 위해서는 그 자릿수의 합이 3으로 나누어지는 것이 필요하고 충분합니다.
증거.
을 위한 a=0 정리는 명백합니다.
만약에 a가 0과 다르면 숫자 a의 모듈러스가 자연수이면 표현이 가능합니다., 숫자 a의 자릿수 합계는 어디에 있습니까?
정수의 합과 곱은 정수이므로 정수이고, 그러면 나눗셈의 정의에 따라 그 곱은 a 0, a 1, ..., a n에 대해 3으로 나누어집니다.
숫자 a의 자릿수 합이 3으로 나누어지면, 즉 A가 3으로 나누어지면 정리 앞에 표시된 나눗셈 속성으로 인해 3으로 나누어 떨어지므로 a는 3으로 나누어집니다. 따라서 충분성이 입증되었습니다.
만약에 a는 3으로 나누어지면 3으로 나누어지며, 동일한 나누어지는 성질로 인해 숫자 A는 3으로 나누어집니다. 즉, 숫자 a의 자릿수 합은 3으로 나누어집니다. 필요성이 입증되었습니다.
3으로 나누어지는 다른 경우
때때로 정수는 명시적으로 지정되지 않지만 주어진 변수 값에 대한 특정 값의 값으로 지정됩니다. 예를 들어, 일부 자연수 n에 대한 표현식의 값은 자연수입니다. 이러한 방식으로 숫자를 지정할 때 3으로 직접 나누는 것은 3으로의 나눗셈을 확립하는 데 도움이 되지 않으며 3으로의 나눗셈 테스트를 항상 적용할 수는 없다는 것이 분명합니다. 이제 이러한 문제를 해결하기 위한 몇 가지 접근 방식을 살펴보겠습니다.
이러한 접근법의 본질은 원래 표현을 여러 요인의 곱으로 표현하는 것이며, 요인 중 적어도 하나가 3으로 나누어지면 해당 분할성 속성으로 인해 전체 곱이 다음과 같이 결론을 내릴 수 있습니다. 3으로 나눌 수 있습니다.
때로는 이 접근 방식을 사용하여 구현할 수 있습니다. 예제 솔루션을 살펴보겠습니다.
예.
임의의 자연수 n에 대해 표현식의 값을 3으로 나눌 수 있습니까?
해결책.
평등은 분명합니다. 뉴턴의 이항식을 사용해 보겠습니다. 
마지막 표현식에서 괄호에서 3을 빼면 가 됩니다. 결과 제품은 3의 인수를 포함하고 자연수를 나타내는 괄호 안의 값이 자연수를 나타내기 때문에 3으로 나눕니다. 따라서 임의의 자연수 n에 대해 3으로 나누어집니다.
답변:
예.
많은 경우 3으로 나누어지는 것을 증명하는 것이 가능합니다. 예제를 풀 때 그 적용을 살펴보겠습니다.
예.
임의의 자연수 n에 대해 표현식의 값이 3으로 나누어진다는 것을 증명하십시오.
해결책.
이를 증명하기 위해 수학적 귀납법을 사용하겠습니다.
~에 n=1 수식의 값은 이고 6을 3으로 나눈 값입니다.
n=k일 때 수식의 값이 3으로 나누어진다고, 즉 3으로 나누어진다고 가정해보자.
3으로 나누어진다는 점을 고려하면, n=k+1에 대한 식의 값이 3으로 나누어진다는 것, 즉 다음과 같이 보여질 것이다. 
3으로 나눌 수 있습니다.
몇 가지 변형을 해보자: 
표현식은 3으로 나눌 수 있으며 다음 표현식은 
은 3으로 나누어지므로 그 합은 3으로 나누어집니다.
따라서 수학적 귀납법을 사용하여 임의의 자연수 n에 대한 3의 나누어짐이 입증되었습니다.
3으로 나누어지는 것을 증명하는 또 다른 접근법을 보여드리겠습니다. n=3 m, n=3 m+1 및 n=3 m+2에 대해(여기서 m은 임의의 정수임) 어떤 표현식의 값(변수 n 포함)이 3으로 나누어진다는 것을 증명하면 다음과 같습니다. 임의의 정수 n에 대해 표현식을 3으로 나눌 수 있습니다. 이전 예제를 해결할 때 이 접근 방식을 고려해 보겠습니다.
따라서, 
임의의 자연수에 대해 n은 3으로 나누어집니다.
답변:
예.
참고자료.
- Vilenkin N.Ya. 그리고 기타. 6학년: 일반 교육 기관용 교과서.
- 비노그라도프 I.M. 정수론의 기초.
- Mikhelovich Sh.H. 정수론.
- Kulikov L.Ya. 및 기타 대수학 및 정수론 문제 모음: 지도 시간물리학과 수학을 전공하는 학생들을 위한 것입니다. 교육 기관의 전문 분야.
분열의 징후
참고 2
가분성의 기호는 일반적으로 숫자 자체가 아니라 이 숫자를 쓰는 데 참여하는 숫자로 구성된 숫자에 적용됩니다.
숫자 $2, 5$ 및 $10$에 대한 가분성 테스트를 사용하면 숫자의 마지막 숫자만 사용하여 숫자의 가분성을 확인할 수 있습니다.
가분성의 다른 징후에는 숫자의 마지막 두 자리, 세 자리 또는 그 이상의 숫자를 분석하는 것이 포함됩니다. 예를 들어, $4$의 나눗셈 테스트에서는 숫자의 마지막 두 자리로 구성된 두 자리 숫자를 분석해야 합니다. 8의 나눗셈을 테스트하려면 숫자의 마지막 세 자리 숫자를 분석해야 합니다.
다른 나눗셈 기호를 사용하는 경우 숫자의 모든 숫자를 분석해야 합니다. 예를 들어, $3$에 의한 나눗셈 검정과 $9$에 의한 나눗셈 검정을 사용하는 경우, 숫자의 모든 자릿수의 합을 구한 후, 구한 합이 $3$ 또는 $9$에 의한 나눗셈인지를 확인해야 하며, 각기.
합성수에 의한 나눗셈의 부호는 여러 다른 부호를 결합합니다. 예를 들어, $6$에 의한 나눗셈 기호는 숫자 $2$와 $3$에 의한 나눗셈 기호와 숫자 $3$와 $4$에 의한 $12$에 의한 나눗셈 기호의 조합입니다.
일부 분할성 기준을 적용하려면 상당한 계산 작업이 필요합니다. 이러한 경우에는 숫자 $a$를 $b$로 직접 나누는 것이 더 쉬울 수 있으며, 이는 주어진 숫자 $a$를 나머지 없이 숫자 $b$로 나눌 수 있는지에 대한 질문으로 이어집니다.
$2$로 나누어지는지 테스트
참고 3
정수의 마지막 숫자가 나머지 없이 $2$로 나누어지면 그 숫자는 나머지 없이 $2$로 나누어집니다. 다른 경우에는 주어진 정수가 $2$로 나누어지지 않습니다.
실시예 1
주어진 숫자 중 $2로 나누어지는 숫자를 결정합니다: 10, 6,349, –765,386, 29,567.$
해결책.
우리는 $2$의 나눗셈 기준을 사용하는데, 이에 따라 $10$과 $–765\386$이 나머지 없이 $2$로 나누어진다는 결론을 내릴 수 있습니다. 이 숫자의 마지막 숫자는 각각 $0$ 및 $6$입니다. 숫자 $6\3494$ 및 $29\567$은 나머지 없이 $2$로 나눌 수 없습니다. 숫자의 마지막 숫자는 각각 $9$와 $7$입니다.
답변: $10$과 $–765\386$는 $2$로 나누어지고, $6\349$와 $29\567$는 $2$로 나누어지지 않습니다.
참고 4
$2$의 나눗셈을 기준으로 하는 정수는 다음과 같이 나뉩니다. 심지어그리고 이상한.
$3$로 나누어지는지 테스트
참고 5
정수의 자릿수 합계가 $3$로 나누어지면 숫자 자체는 $3$로 나누어집니다. 다른 경우에는 숫자가 $3$로 나누어지지 않습니다.
실시예 2
$123$가 $3$로 나누어지는지 확인하세요.
해결책.
$123=1+2+3=6$이라는 숫자의 합을 구해 봅시다. 왜냐하면 결과 금액 $6$를 $3$로 나눈 다음, $3$의 나눗셈 테스트에 따라 숫자 $123$를 $3$로 나눕니다.
답변: $123⋮3$.
실시예 3
$58$가 $3$로 나누어지는지 확인하세요.
해결책.
$58=5+8=13$이라는 숫자의 합을 구해 봅시다. 왜냐하면 결과 금액 $13$는 $3$로 나누어지지 않으며, $3$로 나누어지지 않는 숫자 $58$는 $3$로 나누어지지 않습니다.
답변: $58$는 $3$로 나누어지지 않습니다.
때로는 숫자가 3으로 나누어지는지 확인하려면 $3$로 나누어지는 테스트를 여러 번 적용해야 합니다. 일반적으로 이 접근 방식은 매우 큰 숫자에 분할성 테스트를 적용할 때 사용됩니다.
실시예 4
$999\675\444$라는 숫자가 $3$로 나누어지는지 확인하세요.
해결책.
$999 \ 675 \ 444 = 9 + 9 + 9 + 6 + 7 + 5 + 4 + 4 + 4 = 27 + 18 + 12 = $57라는 숫자의 자릿수 합계를 구해 봅시다. 받은 금액에서 $3$로 나누어 떨어지는지 여부를 판별하기 어려운 경우에는 다시 나눔성 테스트를 적용하여 결과 금액 $57=5+7=12$의 자릿수 합계를 구해야 합니다. 왜냐하면 결과 금액 $12$를 $3$로 나눈 다음 $3$의 나눗셈 테스트에 따라 숫자 $999\675\444$를 $3$로 나눕니다.
답변: $999 \ 675 \ 444 ⋮3$.
$4$에 대한 가분성 테스트
참고 6
주어진 숫자의 마지막 두 자리(나타나는 순서대로)로 구성된 숫자가 $4$로 나누어지면 정수는 $4$로 나누어집니다. 그렇지 않으면 이 숫자는 $4$로 나눌 수 없습니다.
실시예 5
$123\567$과 $48\612$가 $4$로 나누어지는지 확인하세요.
해결책.
$123\567$의 마지막 두 자리로 구성된 두 자리 숫자는 $67$입니다. $67$는 $4$로 나누어지지 않습니다. 왜냐하면 $67\div 4=16(나머지 3)$. 이는 $4$의 나눗셈 테스트에 따르면 $123\567$라는 숫자가 $44.44로 나누어지지 않는다는 것을 의미합니다.
$48\612$의 마지막 두 자리로 구성된 두 자리 숫자는 $12$입니다. $12$는 $4$로 나눌 수 있습니다. 왜냐하면 $12\div 4=3$. 이는 $4$의 나눗셈 테스트에 따르면 숫자 $48\612$도 $4$로 나누어진다는 의미입니다.
답변: $123\567$은 $4로 나누어지지 않고, 48\612$는 $4$로 나누어집니다.
참고 7
주어진 숫자의 마지막 두 자리가 0이면 그 숫자는 $4$로 나누어집니다.
이 결론은 이 숫자가 $100$로 나누어진다는 사실 때문에 내려진 것입니다. $100$는 $4$로 나누어지고, 그 숫자는 $4$로 나누어집니다.
$5$에 대한 가분성 테스트
참고 8
정수의 마지막 숫자가 $0$ 또는 $5$인 경우 해당 숫자는 $5$로 나누어지고 다른 모든 경우에는 $5$로 나누어지지 않습니다.
실시예 6
주어진 숫자 중 $5로 나누어지는 숫자를 결정합니다: 10, 6,349, –765,385, 29,567.$
해결책.
우리는 $5$에 의한 나눗셈 테스트를 사용하는데, 이에 따라 $10$와 $–765,385$가 나머지 없이 $5$로 나누어진다는 결론을 내릴 수 있습니다. 이 숫자의 마지막 숫자는 각각 $0$ 및 $5$입니다. $6\349$ 및 $29\567$는 나머지 없이 $5$로 나눌 수 없습니다. 숫자의 마지막 숫자는 각각 $9$와 $7$입니다.
로드 중...
