적분을 사용하여 면적을 계산합니다. 이중 적분을 사용하여 평면 도형의 면적을 계산하는 방법은 무엇입니까? 이 경우

우리는 이중 적분을 계산하는 실제 과정을 고려하고 그 기하학적 의미에 대해 알아가기 시작합니다.

이중 적분은 평면 도형의 면적(적분 영역)과 수치적으로 동일합니다. 이는 두 변수의 함수가 1과 같을 때 이중 적분의 가장 간단한 형태입니다.

먼저, 일반적인 형태로 문제를 살펴보겠습니다. 이제 모든 것이 정말 단순하다는 사실에 놀라실 것입니다! 선으로 둘러싸인 평면 도형의 면적을 계산해 봅시다. 명확성을 위해 세그먼트에서 다음과 같이 가정합니다. 이 그림의 면적은 수치적으로 다음과 같습니다.

그림의 영역을 묘사해 보겠습니다.

해당 지역을 횡단하는 첫 번째 방법을 선택해 보겠습니다.

따라서:

그리고 즉시 중요한 기술 기술: 반복 적분은 별도로 계산할 수 있습니다. 먼저 내부 적분, 그 다음 외부 적분. 나는 해당 주제의 초보자에게 이 방법을 적극 권장합니다.

1) 내부 적분을 계산하고 변수 "y"에 대해 적분을 수행합니다.

여기서 부정적분은 가장 간단하며, 그다음에는 진부한 뉴턴-라이프니츠 공식이 사용됩니다. 유일한 차이점은 다음과 같습니다. 적분의 한계는 숫자가 아니라 함수이다. 먼저 상한을 "y"(역도함수)로 대체한 다음 하한을

2) 첫 번째 단락에서 얻은 결과는 외부 적분으로 대체되어야 합니다.

전체 솔루션을 보다 간결하게 표현하면 다음과 같습니다.

결과 수식 "일반적인" 정적분을 사용하여 평면 도형의 면적을 계산하는 작업 공식입니다! 강의 보기 유한 적분을 사용하여 면적 계산하기, 그녀는 모든 단계에 있습니다!

즉, 이중 적분을 이용한 면적 계산 문제 별로 다르지 않아정적분을 이용하여 넓이를 구하는 문제에서!사실, 그것은 같은 것입니다!

따라서 어려움이 발생해서는 안됩니다! 실제로 이 작업을 여러 번 경험해 봤기 때문에 많은 예를 살펴보지는 않겠습니다.

실시예 9

해결책:그림의 영역을 묘사해 보겠습니다.

다음과 같은 영역 순회 순서를 선택하겠습니다.

첫 번째 단락에서 매우 자세한 설명이 제공되었으므로 여기에서는 해당 지역을 통과하는 방법에 대해 언급하지 않겠습니다.

따라서:

이미 언급했듯이 초보자는 반복 적분을 별도로 계산하는 것이 더 좋으며 동일한 방법을 고수하겠습니다.

1) 먼저 Newton-Leibniz 공식을 사용하여 내부 적분을 다룹니다.

2) 첫 번째 단계에서 얻은 결과는 외부 적분으로 대체됩니다.

포인트 2는 실제로 정적분을 이용하여 평면도형의 넓이를 구하는 것입니다.

답변:

이건 정말 멍청하고 순진한 작업이다.

독립적인 솔루션에 대한 흥미로운 예:

실시예 10

이중 적분을 사용하여 선으로 둘러싸인 평면 도형의 면적을 계산합니다.

수업 마지막에 나오는 최종 솔루션의 대략적인 예입니다.

예제 9-10에서는 영역을 횡단하는 첫 번째 방법을 사용하는 것이 훨씬 더 수익성이 높습니다. 그런데 호기심 많은 독자는 탐색 순서를 변경하고 두 번째 방법을 사용하여 영역을 계산할 수 있습니다. 실수하지 않으면 당연히 동일한 면적 값을 얻게 됩니다.

그러나 어떤 경우에는 해당 지역을 횡단하는 두 번째 방법이 더 효과적이며, 젊은 괴짜 과정이 끝나면 이 주제에 대한 몇 가지 예를 더 살펴보겠습니다.

실시예 11

이중 적분법을 사용하여 선으로 둘러싸인 평면 도형의 면적을 계산하고,

해결책:우리는 측면에 독특한 특징이 있는 두 개의 포물선을 기대하고 있습니다. 웃을 필요는 없습니다. 비슷한 일이 여러 적분에서 자주 발생합니다.

그림을 그리는 가장 쉬운 방법은 무엇입니까?

두 가지 함수 형태의 포물선을 상상해 봅시다.
– 위쪽 가지 – 아래쪽 가지.

마찬가지로 위쪽과 아래쪽 형태의 포물선을 상상해 보세요. 가지.

다음으로 그래프 규칙을 점별로 플로팅하면 다음과 같은 이상한 그림이 생성됩니다.

다음 공식에 따라 이중 적분을 사용하여 그림의 면적을 계산합니다.

해당 지역을 횡단하는 첫 번째 방법을 선택하면 어떻게 되나요? 첫째, 이 영역을 두 부분으로 나누어야 합니다. 둘째, 우리는 이 슬픈 그림을 관찰할 것입니다. . 물론 적분은 매우 복잡한 수준은 아니지만... 오래된 수학적 속담이 있습니다: 뿌리에 가까운 사람들은 테스트가 필요하지 않습니다.

따라서 조건에 주어진 오해로부터 우리는 역함수를 표현합니다.

이 예의 역함수는 잎, 도토리, 가지, 뿌리 없이 전체 포물선을 한 번에 지정한다는 장점이 있습니다.

두 번째 방법에 따르면 영역 순회는 다음과 같습니다.

따라서:

그들이 말했듯이 차이를 느껴보십시오.

1) 우리는 내부 적분을 다룹니다.

결과를 외부 적분으로 대체합니다.

변수 "y"에 대한 적분은 혼란스럽지 않아야 합니다. 문자 "zy"가 있으면 그 위에 적분하는 것이 좋습니다. 수업의 두 번째 단락을 읽은 사람은 누구입니까? 회전체의 부피를 계산하는 방법, 그는 더 이상 "Y" 방법에 따른 통합에 대해 조금도 어색함을 느끼지 않습니다.

또한 첫 번째 단계에 주의하세요. 피적분 함수는 짝수이고 적분 간격은 0에 대해 대칭입니다. 따라서 세그먼트를 절반으로 줄이고 결과를 두 배로 늘릴 수 있습니다. 이 기술은 수업에서 자세히 설명됩니다. 효과적인 방법정적분 계산하기.

무엇을 추가해야 할까요? 모두!

답변:

통합 기술을 테스트하려면 다음을 계산해 보세요. . 대답은 정확히 동일해야합니다.

실시예 12

이중 적분을 사용하여 선으로 둘러싸인 평면 도형의 면적을 계산합니다.

이것은 스스로 해결하는 예입니다. 지역을 횡단하는 첫 번째 방법을 사용하려고 하면 그림이 더 이상 두 부분으로 나누어질 필요가 없고 세 부분으로 나누어진다는 점은 흥미롭습니다! 따라서 우리는 세 쌍의 반복 적분을 얻습니다. 이런 일도 발생합니다.

마스터 클래스가 끝났고 이제 그랜드마스터 레벨로 넘어갈 시간입니다. 이중 적분을 계산하는 방법은 무엇입니까? 솔루션의 예. 두 번째 글에서는 너무 열광하지 않도록 노력하겠습니다 =)

나는 당신의 성공을 기원합니다!

솔루션 및 답변:

예시 2:해결책: 지역을 그려보자 그림에:

다음과 같은 영역 순회 순서를 선택하겠습니다.

따라서:
역함수로 넘어가겠습니다.

따라서:
답변:

예시 4:해결책: 직접 기능으로 넘어 갑시다.

그림을 그려보자:

영역을 횡단하는 순서를 변경해 보겠습니다.

답변:

구문 분석에 대한 이전 섹션에서 기하학적 의미정적분을 통해 우리는 곡선 사다리꼴의 면적을 계산하기 위한 여러 공식을 얻었습니다.

Yandex.RTB R-A-339285-1

S (G) = ∫ a b f (x) d x 구간 [ a ; b] ,

S (G) = - ∫ a b f (x) d x 구간 [ a ; 비] .

이 공식은 비교적 간단한 문제를 해결하는 데 적용할 수 있습니다. 실제로는 더 복잡한 수치로 작업해야 하는 경우가 많습니다. 이와 관련하여 우리는 이 섹션을 명시적 형식의 함수에 의해 제한되는 도형의 면적을 계산하기 위한 알고리즘 분석에 전념할 것입니다. y = f(x) 또는 x = g(y)와 같습니다.

정리

함수 y = f 1 (x) 및 y = f 2 (x)를 정의하고 구간 [ a ; b ] , 그리고 [ a ; 비] . 그런 다음 x = a, x = b, y = f 1 (x) 및 y = f 2 (x) 선으로 둘러싸인 그림 G의 면적을 계산하는 공식은 S (G) = ∫와 같습니다. a b f 2 (x) - f 1 (x) d x .

유사한 공식이 y = c, y = d, x = g 1 (y) 및 x = g 2 (y) 선으로 둘러싸인 그림 영역에 적용 가능합니다. S (G) = ∫ c d ( g 2 (y) - g 1 (y) d y .

증거

공식이 유효한 세 가지 경우를 살펴보겠습니다.

첫 번째 경우, 면적의 가산성을 고려하면 원래 그림 G와 곡선 사다리꼴 G 1의 면적의 합은 그림 G 2의 면적과 같습니다. 이는 다음을 의미합니다.

따라서 S(G) = S(G 2) - S(G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) dx.

정적분의 세 번째 속성을 사용하여 마지막 전이를 수행할 수 있습니다.

두 번째 경우에는 동등성이 적용됩니다. S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - f 1 (x)) d x

그래픽 그림은 다음과 같습니다.

두 함수가 모두 양수가 아닌 경우 다음을 얻습니다. S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2(x) - f 1(x)) d x . 그래픽 그림은 다음과 같습니다.

y = f 1 (x) 및 y = f 2 (x)가 O x 축과 교차하는 일반적인 경우를 고려해 보겠습니다.

교차점을 x i, i = 1, 2, …로 표시합니다. . . , n - 1 . 이 점들은 세그먼트 [a; b ] n 부분으로 x i - 1 ; x 나는, 나는 = 1, 2, . . . , n, 여기서 α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

따라서,

S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x

정적분의 다섯 번째 속성을 사용하여 마지막 전환을 만들 수 있습니다.

일반적인 경우를 그래프로 설명해 보겠습니다.

공식 S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x는 입증된 것으로 간주될 수 있습니다.

이제 y = f (x) 및 x = g (y) 선으로 제한되는 도형의 면적을 계산하는 예를 분석해 보겠습니다.

그래프를 구성하여 예제에 대한 고려를 시작하겠습니다. 이미지를 사용하면 복잡한 모양을 단순한 모양의 조합으로 표현할 수 있습니다. 그래프와 그림을 구성하는 것이 어렵다면 기본적인 기본함수 부분, 함수 그래프의 기하학적 변환 부분, 함수를 공부하면서 그래프 구성 부분을 공부하면 됩니다.

실시예 1

포물선 y = - x 2 + 6 x - 5 및 직선 y = - 1 3 x - 1 2, x = 1, x = 4로 제한되는 그림의 영역을 결정해야 합니다.

해결책

직교 좌표계로 그래프에 선을 그려 봅시다.

세그먼트에서 [ 1 ; 4 ] 포물선 y = - x 2 + 6 x - 5의 그래프는 직선 y = - 1 3 x - 1 2 위에 위치합니다. 이와 관련하여 답을 얻기 위해 이전에 얻은 공식과 Newton-Leibniz 공식을 사용하여 정적분을 계산하는 방법을 사용합니다.

S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13

답: S(G) = 13

좀 더 복잡한 예를 살펴보겠습니다.

실시예 2

y = x + 2, y = x, x = 7 선으로 제한되는 그림의 면적을 계산해야합니다.

해결책

이 경우 x축과 평행한 직선은 하나만 있습니다. 이는 x = 7입니다. 이를 위해서는 통합의 두 번째 한계를 스스로 찾아야 합니다.

그래프를 작성하고 문제 설명에 주어진 선을 그 위에 그려 봅시다.

그래프가 눈앞에 있으면 적분의 하한이 직선 y = x와 반포물선 y = x + 2의 그래프 교차점의 가로좌표가 된다는 것을 쉽게 결정할 수 있습니다. 가로좌표를 찾기 위해 우리는 등식을 사용합니다:

y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O DZ x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O DZ

교차점의 가로좌표는 x = 2입니다.

그림의 일반적인 예에서 선 y = x + 2, y = x가 점 (2; 2)에서 교차하므로 이러한 자세한 계산이 불필요해 보일 수 있다는 사실에 주목합니다. 더 복잡한 경우에는 솔루션이 그다지 명확하지 않을 수 있기 때문에 여기서는 자세한 솔루션을 제공했습니다. 이는 항상 선의 교차점 좌표를 분석적으로 계산하는 것이 더 낫다는 것을 의미합니다.

간격 [ 2 ; 7] 함수 y = x의 그래프는 함수 y = x + 2의 그래프 위에 위치합니다. 면적을 계산하는 공식을 적용해 보겠습니다.

S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6

답: S(G) = 59 6

실시예 3

함수 y = 1 x 및 y = - x 2 + 4 x - 2의 그래프에 의해 제한되는 그림의 면적을 계산해야 합니다.

해결책

그래프에 선을 그려 봅시다.

통합의 한계를 정의해 보겠습니다. 이를 위해 표현식 1 x와 - x 2 + 4 x - 2를 동일시하여 선의 교차점 좌표를 결정합니다. x가 0이 아닌 경우 등식 1 x = - x 2 + 4 x - 2는 정수 계수를 사용하는 3차 방정식 - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0과 동일해집니다. 이러한 방정식을 풀기 위한 알고리즘에 대한 기억을 되살리려면 "3차 방정식 풀기" 섹션을 참조하세요.

이 방정식의 근은 x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0입니다.

표현식 - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1을 이항 x - 1로 나누면 다음과 같은 결과를 얻습니다. - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0

방정식 x 2 - 3 x - 1 = 0에서 나머지 근을 찾을 수 있습니다.

x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 · 1 · (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≒ 3 . 3; x 2 = 3 - 13 2 ≒ - 0 . 3

우리는 간격 x ∈ 1을 찾았습니다. 3 + 13 2, 여기서 그림 G는 파란색 위와 빨간색 선 아래에 포함됩니다. 이는 그림의 영역을 결정하는 데 도움이 됩니다.

S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

답: S(G) = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

실시예 4

곡선 y = x 3, y = - log 2 x + 1 및 가로축에 의해 제한되는 그림의 면적을 계산해야 합니다.

해결책

그래프의 모든 선을 그려 보겠습니다. 그래프 y = log 2 x에서 함수 y = - log 2 x + 1의 그래프를 x축에 대해 대칭으로 배치하고 한 단위 위로 이동하면 얻을 수 있습니다. x축의 방정식은 y = 0입니다.

선의 교차점을 표시해 보겠습니다.

그림에서 볼 수 있듯이 함수 y = x 3 및 y = 0의 그래프는 점 (0; 0)에서 교차합니다. 이는 x = 0이 방정식 x 3 = 0의 유일한 실수근이기 때문에 발생합니다.

x = 2는 방정식 - log 2 x + 1 = 0의 유일한 근이므로 함수 y = - log 2 x + 1 및 y = 0의 그래프는 점 (2; 0)에서 교차합니다.

x = 1은 방정식 x 3 = - log 2 x + 1의 유일한 근입니다. 이와 관련하여 함수 y = x 3 및 y = - log 2 x + 1의 그래프는 점 (1; 1)에서 교차합니다. 마지막 진술은 명확하지 않을 수 있지만 방정식 x 3 = - log 2 x + 1은 하나 이상의 근을 가질 수 없습니다. 왜냐하면 함수 y = x 3은 엄격하게 증가하고 함수 y = - log 2 x + 1은 다음과 같기 때문입니다. 엄격하게 감소합니다.

추가 솔루션에는 몇 가지 옵션이 포함됩니다.

옵션 #1

우리는 그림 G를 x축 위에 위치한 두 개의 곡선 사다리꼴의 합으로 상상할 수 있으며, 그 중 첫 번째는 세그먼트 x ∈ 0의 중간선 아래에 위치합니다. 1이고 두 번째는 세그먼트 x ∈ 1의 빨간색 선 아래에 있습니다. 2. 이는 면적이 S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x 와 동일함을 의미합니다.

옵션 2번

그림 G는 두 그림의 차이로 표현될 수 있습니다. 첫 번째 그림은 x축 위와 세그먼트 x ∈ 0의 파란색 선 아래에 위치합니다. 2, 세그먼트 x ∈ 1의 빨간색과 파란색 선 사이의 두 번째; 2. 이를 통해 다음과 같이 영역을 찾을 수 있습니다.

S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x

이 경우 면적을 찾으려면 S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y 형식의 공식을 사용해야 합니다. 실제로 그림을 묶는 선은 인수 y의 함수로 표현될 수 있습니다.

x에 대해 방정식 y = x 3 및 - log 2 x + 1을 풀어 보겠습니다.

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - 로그 2 x + 1 ⇒ 로그 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y

필요한 영역을 얻습니다.

S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4

답: S(G) = 1 ln 2 - 1 4

실시예 5

y = x, y = 2 3 x - 3, y = - 1 2 x + 4 선으로 제한되는 그림의 면적을 계산해야합니다.

해결책

빨간색 선을 사용하여 함수 y = x로 정의된 선을 그립니다. y = - 1 2 x + 4 선을 파란색으로 그리고 y = 2 3 x - 3 선을 검정색으로 그립니다.

교차점을 표시해 봅시다.

함수 y = x 및 y = - 1 2 x + 4 그래프의 교차점을 찾아보겠습니다.

x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16 ; x 2 = 20 - 144 2 = 4 확인: x 1 = 16 = 4, - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 아님 방정식 x 2 =에 대한 해법은 무엇입니까? 4 = 2, - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4는 방정식의 해입니다 ⇒ (4; 2) 교차점 i y = x 및 y = - 1 2 x + 4

함수 y = x와 y = 2 3 x - 3 그래프의 교차점을 찾아보겠습니다.

x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 확인: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9는 방정식의 해입니다 ⇒ (9 ; 3) 점 a s y = x 및 y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 방정식에 대한 해가 없습니다

선 y = - 1 2 x + 4와 y = 2 3 x - 3의 교차점을 찾아보겠습니다.

1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 ; 1 ) 교차점 y = - 1 2 x + 4 및 y = 2 3 x - 3

방법 1번

원하는 도형의 면적을 개별 도형의 면적의 합으로 상상해 봅시다.

그러면 그림의 면적은 다음과 같습니다.

S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3

방법 2번

원래 도형의 넓이는 다른 두 도형의 합으로 표현될 수 있습니다.

그런 다음 x를 기준으로 선의 방정식을 풀고 그 후에야 그림의 면적을 계산하는 공식을 적용합니다.

y = x ⇒ x = y 2 빨간색 선 y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 검은색 선 y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i a l i n e

따라서 면적은 다음과 같습니다.

S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

보시다시피 값은 동일합니다.

답: S(G) = 11 3

결과

주어진 선으로 제한되는 도형의 넓이를 구하려면 평면 위에 선을 구성하고 그 교차점을 찾은 후 공식을 적용하여 넓이를 구해야 합니다. 이 섹션에서는 가장 일반적인 작업 변형을 조사했습니다.

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그림의 면적 계산- 이것은 아마도 면적이론에서 가장 어려운 문제 중 하나일 것입니다. 학교 기하학에서는 삼각형, 마름모, 직사각형, 사다리꼴, 원 등과 같은 기본 기하학적 모양의 영역을 찾는 방법을 가르칩니다. 그러나 더 복잡한 수치의 면적을 계산해야 하는 경우가 많습니다. 이러한 문제를 해결할 때 적분법을 사용하는 것이 매우 편리합니다.

정의.

곡선 사다리꼴 y = f(x), y = 0, x = a 및 x = b 선으로 둘러싸인 일부 그림 G를 호출하고 함수 f(x)는 세그먼트 [a; b] 기호를 변경하지 않습니다. (그림 1).곡선 사다리꼴의 면적은 S(G)로 표시할 수 있습니다.

함수 f(x)에 대한 정적분 ʃ a b f(x)dx는 구간 [a; b]는 해당 곡선 사다리꼴의 면적입니다.

즉, y = f(x), y = 0, x = a 및 x = b 선으로 둘러싸인 그림 G의 면적을 찾으려면 정적분 ʃ a b f(x)dx를 계산해야 합니다. .

따라서, S(G) = ʃ a b f(x)dx.

함수 y = f(x)가 [a; b], 곡선 사다리꼴의 면적은 공식을 사용하여 찾을 수 있습니다 S(G) = -ʃ a b f(x)dx.

예시 1.

y = x 3 선으로 둘러싸인 그림의 면적을 계산합니다. y = 1; x = 2.

해결책.

주어진 선은 그림 ABC를 형성하며, 이는 해칭으로 표시됩니다. 쌀. 2.

필요한 면적은 곡선 사다리꼴 DACE와 정사각형 DABE 면적의 차이와 같습니다.

공식 S = ʃ a b f(x)dx = S(b) – S(a)를 사용하여 적분의 한계를 찾습니다. 이를 위해 우리는 두 방정식의 시스템을 해결합니다.

(y = x 3,
(y = 1.

따라서 x 1 = 1 – 하한, x = 2 – 상한이 있습니다.

따라서 S = S DACE – S DABE = ʃ 1 2 x 3 dx – 1 = x 4 /4| 1 2 – 1 = (16 – 1)/4 – 1 = 11/4(평방 단위).

답: 11/4제곱미터 단위

예시 2.

y = √x 선으로 둘러싸인 그림의 면적을 계산합니다. y = 2; x = 9.

해결책.

주어진 선은 위의 함수 그래프에 의해 제한되는 ABC 그림을 형성합니다.

y = √x이고 아래는 함수 y = 2의 그래프입니다. 결과 그림은 에서 해칭하여 표시됩니다. 쌀. 3.

필요한 면적은 S = ʃ a b (√x – 2)입니다. 적분의 한계를 찾아봅시다: b = 9, a를 찾기 위해 두 방정식의 시스템을 풀어보세요:

(y = √x,
(y = 2.

따라서 우리는 x = 4 = a라는 것을 얻었습니다. 이것이 하한입니다.

따라서 S = ∫ 4 9 (√x – 2)dx = ∫ 4 9 √x dx –∫ 4 9 2dx = 2/3 x√x| 4 9 – 2х| 4 9 = (18 – 16/3) – (18 – 8) = 2 2/3 (평방 단위).

답: S = 2 2/3제곱미터 단위

예시 3.

y = x 3 – 4x 선으로 둘러싸인 그림의 면적을 계산합니다. 와이 = 0; x ≥ 0.

해결책.

x ≥ 0에 대해 함수 y = x 3 – 4x를 플로팅해 보겠습니다. 이렇게 하려면 도함수 y'를 찾으세요.

y' = 3x 2 – 4, y' = 0(x = ±2/√3 ≒ 1.1 – 임계점).

수직선에 임계점을 표시하고 도함수의 부호를 배열하면 함수가 0에서 2/√3으로 감소하고 2/√3에서 플러스 무한대로 증가하는 것을 알 수 있습니다. 그러면 x = 2/√3은 최소점이며, 함수 y min = -16/(3√3) ≒ -3의 최소값입니다.

좌표축과 그래프의 교차점을 결정해 보겠습니다.

x = 0이면 y = 0입니다. 이는 A(0; 0)이 Oy 축과의 교차점임을 의미합니다.

y = 0이면 x 3 – 4x = 0 또는 x(x 2 – 4) = 0 또는 x(x – 2)(x + 2) = 0이므로 x 1 = 0, x 2 = 2, x 3 = -2(x ≥ 0이므로 적합하지 않음)

점 A(0; 0) 및 B(2; 0)은 그래프와 Ox 축의 교차점입니다.

주어진 선은 OAB 그림을 형성하며, 이는 해칭으로 표시됩니다. 쌀. 4.

함수 y = x 3 – 4x는 (0; 2)에서 음수 값을 취하므로,

S = |ʃ 0 2 (x 3 – 4x)dx|.

ʃ 0 2 (x 3 – 4х)dx =(x 4 /4 – 4х 2 /2)| 0 2 = -4, 여기서 S = 4제곱미터입니다. 단위

답: S = 4제곱미터 단위

예시 4.

포물선 y = 2x 2 – 2x + 1, 선 x = 0, y = 0 및 가로좌표 x 0 = 2가 있는 지점에서 이 포물선의 접선으로 둘러싸인 그림의 영역을 찾습니다.

해결책.

먼저, 가로좌표 x₀ = 2인 점에서 포물선 y = 2x 2 – 2x + 1에 대한 접선에 대한 방정식을 만들어 보겠습니다.

도함수 y' = 4x – 2이므로 x 0 = 2에 대해 k = y'(2) = 6을 얻습니다.

접선점의 세로 좌표를 찾아봅시다: y 0 = 2 2 2 – 2 2 + 1 = 5.

따라서 접선 방정식의 형식은 y – 5 = 6(x – 2) 또는 y = 6x – 7입니다.

선으로 둘러싸인 그림을 만들어 보겠습니다.

y = 2x 2 – 2x + 1, y = 0, x = 0, y = 6x – 7.

Г у = 2х 2 – 2х + 1 – 포물선. 좌표축과의 교차점: A(0; 1) – Oy 축과; Ox 축을 사용하면 교차점이 없습니다. 방정식 2x 2 – 2x + 1 = 0에는 해가 없습니다(D< 0). Найдем вершину параболы:

xb = 2/4 = 1/2;

y b = 1/2, 즉 포물선 점 B의 꼭지점의 좌표는 B(1/2; 1/2)입니다.

따라서 면적을 결정해야 하는 그림은 다음과 같이 부화하여 표시됩니다. 쌀. 5.

S O A B D = S OABC – S ADBC가 있습니다.

조건에서 점 D의 좌표를 찾아보겠습니다.

6x – 7 = 0, 즉 x = 7/6, 이는 DC = 2 – 7/6 = 5/6을 의미합니다.

S ADBC = 1/2·DC·BC 공식을 이용하여 삼각형 DBC의 면적을 구합니다. 따라서,

S ADBC = 1/2 · 5/6 · 5 = 25/12제곱미터 단위

S OABC = ʃ 0 2 (2x 2 – 2x + 1)dx = (2x 3 /3 – 2x 2 /2 + x)| 0 2 = 10/3(평방 단위).

우리는 마침내 다음을 얻습니다: S O A B D = S OABC – S ADBC = 10/3 – 25/12 = 5/4 = 1 1/4 (평방 단위).

답: S = 1 1/4제곱미터 단위

우리는 예시를 살펴보았습니다 주어진 선으로 둘러싸인 도형의 영역 찾기. 이러한 문제를 성공적으로 해결하려면 평면에 선과 함수 그래프를 그릴 수 있어야 하고, 선의 교차점을 찾고, 공식을 적용하여 면적을 찾을 수 있어야 하며, 이는 특정 적분을 계산하는 능력을 의미합니다.

웹사이트에서 자료의 전체 또는 일부를 복사하는 경우 출처에 대한 링크가 필요합니다.

정의에 따르면 음이 아닌 함수 f(x)의 정적분은 곡선 y = f(x), 직선 x = a, x = b로 둘러싸인 곡선 사다리꼴의 면적과 같습니다. 가로좌표 = 0(그림 4.1).

함수 – f(x)가 양수가 아닌 경우 정적분은 다음과 같습니다.
빼기 기호로 찍은 해당 곡선 사다리꼴의 면적과 같습니다 (그림 4.7).

그림 4.7 - 비양수 함수에 대한 정적분의 기하학적 의미

임의의 연속 함수 f(x)에 대해 정적분은 다음과 같습니다.
함수 f(x)의 그래프 아래와 가로축 위에 있는 곡선 사다리꼴 면적의 합과 같고, 함수 f(x)의 그래프 위와 아래에 있는 곡선 사다리꼴 면적의 합을 뺀 것과 같습니다. 가로축(그림 4.8).

그림 4.8 – 임의의 연속 함수 f(x)에 대한 정적분의 기하학적 의미(더하기 기호는 더해진 면적을 표시하고 빼기 기호는 빼는 면적을 표시합니다).

실제로 곡선 도형의 면적을 계산할 때 다음 공식이 자주 사용됩니다.
여기서 S는 세그먼트 [a,b]의 곡선 y = f 1 (x) 및 y = f 2 (x)와 f 1 (x) 및 f 2 (x) 사이에 둘러싸인 그림의 영역입니다. )는 f 1 (x) ≥ f 2 (x)와 같이 이 세그먼트에 정의된 연속 함수입니다(그림 4.9, 4.10 참조).

파생상품의 경제적 의미를 연구할 때 파생상품은 시간이 지남에 따라 또는 연구 중인 다른 요소와 관련하여 일부 경제적 대상이나 프로세스의 변화율로 작용하는 것으로 나타났습니다. 특정 적분의 경제적 의미를 확립하려면 이 속도 자체를 시간 함수 또는 다른 요소로 간주할 필요가 있습니다. 그런 다음 정적분은 역도함수의 변화를 나타내기 때문에 경제학에서는 특정 기간 동안(또는 다른 요소의 특정 변화와 함께) 이 대상(과정)의 변화를 평가한다는 것을 알 수 있습니다.

예를 들어 함수 q=q(t)가 시간에 따른 노동 생산성을 설명하는 경우 이 함수의 정적분은 다음과 같습니다.
는 t0에서 t1까지의 기간 동안의 출력 Q의 양을 나타냅니다.

정적분 계산 방법앞서 설명한 통합 방법을 기반으로 합니다(증명은 수행하지 않습니다).

부정 적분을 찾을 때 다음 공식에 기초한 변수 변경 방법을 사용했습니다: f(x)dx= =f((t))`(t)dt, 여기서 x =(t)는 함수입니다. 그 사이에 고려된 것에 대해 구별 가능합니다. 정적분의 경우 변수 변경 공식은 다음 형식을 취합니다.
, 어디
그리고 모두를 위해.

실시예 1. 찾다

t= 2 –x 2로 둡니다. 그런 다음 dt= -2xdx 및 xdx= - ½dt입니다.

x = 0에서 t= 2 – 0 2 = 2. x = 1t= 2 – 1 2 = 1. 그러면

실시예 2. 찾다

실시예 3. 찾다

정적분에 대한 부품별 적분 공식은 다음과 같은 형식을 취합니다.
, 어디
.

실시예 1. 찾다

u=ln(1 +x),dv=dx라고 하자. 그 다음에

실시예 2. 찾다

정적분을 사용하여 평면 도형의 면적 계산

예시 1. y = x 2 – 2 및 y = x 선으로 둘러싸인 그림의 면적을 구합니다.

함수 y= x 2 – 2의 그래프는 x= 0, y= -2에서 최소점이 있는 포물선입니다. 가로축은 점에서 교차합니다.
. 함수 y = x의 그래프는 음수가 아닌 좌표 분기의 이등분선인 직선입니다.

다음 방정식의 시스템을 풀어 포물선 y = x 2 – 2와 직선 y = x의 교차점 좌표를 찾아보겠습니다.

x 2 - x - 2 = 0

x = 2; y= 2 또는 x = -1;y= -1

따라서 영역을 찾아야 하는 그림은 그림 4.9에 표시될 수 있습니다.

그림 4.9 – y = x 2 – 2 및 y = x 선으로 둘러싸인 그림

세그먼트 [-1, 2] x ≥ x 2 – 2에서.

공식을 사용해 봅시다
, f 1 (x) = x; f 2 (x) = x 2 – 2;a= -1;b= 2.

예시 2. y = 4 - x 2 및 y = x 2 - 2x 선으로 둘러싸인 그림의 면적을 구합니다.

함수 y = 4 - x 2의 그래프는 x = 0, y = 4에서 최대점을 갖는 포물선입니다. x축은 점 2와 -2에서 교차합니다. 함수 y = x 2 – 2x의 그래프는 2x- 2 = 0, x = 1에 최소점이 있는 포물선입니다. x축은 점 0과 2에서 교차합니다.

곡선의 교차점 좌표를 찾아 보겠습니다.

4 - x 2 = x 2 - 2x

2x 2 – 2x - 4 = 0

x 2 - x - 2 = 0

x = 2; y= 0 또는 x = -1;y= 3

따라서 면적을 구해야 하는 그림은 그림 4.10과 같습니다.

그림 4.10 - 선 y = 4 - x 2 및 y = x 2 – 2x로 둘러싸인 그림

세그먼트 [-1, 2]에서 4 - x 2 ≥ x 2 – 2x.

공식을 사용해 봅시다
, f 1 (x) = 4 - - x 2; f 2 (x) = x 2 – 2x;a= -1;b= 2.

예시 3.음수가 아닌 좌표 사분면에서 선 y = 1/x로 둘러싸인 그림의 영역을 찾습니다. y= x 2 및 y= 4.

함수 y = 1/x의 그래프는 쌍곡선입니다. 양의 x에 대해서는 아래쪽으로 볼록합니다. 좌표축은 점근선입니다. 음수가 아닌 좌표 사분면에서 함수 y = x 2의 그래프는 원점에 최소점이 있는 포물선의 가지입니다. 이 그래프는 1/x = x 2 에서 교차합니다. x 3 = 1; x = 1; y = 1.

함수 y = 1/x의 그래프는 x = 1/4에서 직선 y = 4와 교차하고, 함수 y = x 2의 그래프는 x = 2(또는 -2)에서 교차합니다.

따라서 면적을 구해야 하는 그림은 그림 4.11과 같습니다.

그림 4.11 - 선으로 둘러싸인 그림 y = 1/x; 음수가 아닌 좌표 사분면에서 y= x 2 및 y= 4

그림 ABC의 필요한 면적은 4 * (2 - ¼) = 7과 같은 직사각형 ABHE 면적과 두 곡선 사다리꼴 ACFE 면적의 합과 CBHF. ACFE 면적을 계산해 보겠습니다.

SVНF 면적을 계산해 보겠습니다.

따라서 필요한 면적은 7 – (ln4 + 7/3) = 14/3 –ln43.28 (단위 2)입니다.

수업: 11

수업 프레젠테이션

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주목! 슬라이드 미리보기는 정보 제공의 목적으로만 제공되며 프레젠테이션의 모든 기능을 나타내지 않을 수도 있습니다. 이 작품에 관심이 있으시면 정식 버전을 다운로드하시기 바랍니다.

수업 목표:정적분을 사용하여 평면 도형의 면적을 계산하는 공식을 도출합니다. 정적분을 사용하여 평면 도형의 면적을 계산하는 기술을 개발합니다. 알려진 내용을 반복하고 적분학의 역사에서 새로운 정보를 제공합니다. 시험 준비; 주의력, 말하기, 논리적 사고 및 글쓰기의 정확성을 개발하기 위한 노력을 계속합니다. 그래픽 문화를 개선합니다. 개발 작업을 계속하다 창의성재학생; 수학 공부에 대한 관심을 높이십시오.

장비: PowerPoint 환경에서 개발된 멀티미디어 프로젝터, 스크린, 주제 프레젠테이션.

수업 진행

I. 조직적 순간, 수업 주제 및 목적에 대한 메시지.

II. 숙제를 확인 중입니다.

추가 숙제 확인(교사는 미리 준비된 그림에 답을 보여주고, 답은 보드 뒷면에 있습니다):

함수 y = 1+ 3cos(x/2), x = -π/2, x = 3π/2, y = 0의 그래프로 둘러싸인 그림의 면적을 계산합니다.

III. 기본 지식을 업데이트합니다.

1. 구두 작업(슬라이드 3-4)

적분을 사용하여 그림에 표시된 그림의 면적을 표현하십시오.
적분을 계산합니다.

2. 약간의 역사. (슬라이드 5~9)

"적분학의 역사에서"라는 주제에 관한 학생 컴퓨터 프로젝트의 일부입니다.

학생 1명

완전한- 한편으로는 파생 상품으로 함수를 찾고 다른 한편으로는 면적, 부피, 호 길이, 힘의 작용을 측정해야 할 필요성과 관련하여 발생한 수학의 가장 중요한 개념 중 하나 일정 기간 등

적분이라는 단어 자체는 다음과 같이 만들어졌습니다. J. 베르누이(1690). 라틴어에서 유래했어요 정수, 이전 상태로 가져오기, 복원으로 번역됩니다.

여러분이 알고 있을 수도 있는 적분법과 관련된 다른 용어는 훨씬 나중에 나타났습니다. 현재 이름 역도함수 기능이전 것을 교체했습니다 "원시 함수", Joseph Louis가 소개한 라그랑주(1797). 라틴어 단어 원시적인"초기"로 번역됩니다.

적분 미적분 문제의 출현은 면적과 부피를 찾는 것과 관련이 있습니다. 이런 종류의 문제는 수학자에 의해 해결되었습니다. 고대 그리스. 적분을 계산하는 첫 번째 알려진 방법은 Eudoxus 소진법( 약기원전 370년 BC), 그는 면적이나 부피가 이미 알려져 있는 무한한 수의 부분으로 나누어 면적과 부피를 찾으려고 했습니다. 이 방법은 아르키메데스가 채택하고 개발했으며 포물선의 면적을 계산하고 원의 면적을 근사화하는 데 사용되었습니다.

그러나 아르키메데스는 이를 선택하지 않았다. 일반 내용적분 기술과 적분의 개념, 그리고 더욱이 적분 미적분을 위한 알고리즘을 만들지 못했습니다.

1544년에 처음으로 쓰여진 아르키메데스의 작품은 적분법의 발전에 있어 가장 중요한 출발점 중 하나였습니다.

학생 2명

적분의 개념은 적분, 적분의 속성 및 계산 방법에 대한 연구를 다루는 수학 분야인 적분 미적분과 직접적으로 관련됩니다.

우리는 적분의 개념에 더 가깝고 정확하게 접근했습니다. 아이작 뉴턴. 그는 미분과 적분을 최초로 구축한 사람이었으며 이를 "유동법(Method of Fluxions...)"이라고 불렀습니다(1670-1671, publ. 1736). 뉴턴은 변수에 이름을 붙였습니다. 유창하다(현재 값, 위도. fluo – 흐름). 변화율 유창 뉴턴 – 유동, 유속을 계산하는 데 필요한 유속의 극미한 변화는 " 순간들"(라이프니츠는 이를 미분이라고 불렀습니다.) 따라서 뉴턴은 유율(도함수)과 유창함(역도함수 또는 부정 적분)의 개념을 기반으로 했습니다.

이를 통해 즉시 다양한 수학적, 물리적 문제를 해결할 수 있게 되었습니다.

뉴턴과 동시에 또 다른 뛰어난 과학자도 비슷한 아이디어를 내놓았습니다. 고트프리트 빌헬름 라이프니츠.

철학적, 수학적 문제를 성찰하면서 라이프니츠는 수학이 과학에서 진리를 찾고 발견하는 가장 신뢰할 수 있는 수단이 될 수 있다고 확신하게 되었습니다. 적분 기호(∫)는 17세기 말 라이프니츠에 의해 처음 사용되었습니다. 이 기호는 라틴어 단어의 약어인 문자 S로 구성됩니다. 요약(합집합).

뉴턴과 라이프니츠는 일반 정적분의 개념에 대해 두 가지 해석을 개발했습니다.

뉴턴은 정적분을 역도함수에 해당하는 값 사이의 차이로 해석했습니다.