Ածանցյալ ըստ սահմանման (սահմանի միջով): Լուծման օրինակներ. Ֆունկցիայի ածանցյալ. s t ֆունկցիայի ածանցյալի ածանցյալի երկրաչափական նշանակությունը կոչվում է

Թող ֆունկցիան սահմանվի կետի ինչ-որ հարևանությամբ: Մի կետում ֆունկցիայի ածանցյալը կոչվում է սահման, եթե այն գոյություն ունի,

Մի կետում ֆունկցիայի ածանցյալի պայմանական նշում

Ածանցյալ աղյուսակ

Կետում ֆունկցիայի ածանցյալի երկրաչափական նշանակությունը:

Դիտարկենք հատվածը ԱԲֆունկցիայի գրաֆիկ y=f(x)այնպիսին, որ միավորները ԲԱՅՑև ATունեն կոորդինատներ և , որտեղ է փաստարկի աճը: Նշեք ֆունկցիայի աճով: Եկեք ամեն ինչ նշենք գծագրության վրա.

Ուղղանկյուն եռանկյունից ABCմենք ունենք . Քանի որ, ըստ սահմանման, շոշափողը սեկանտի սահմանափակող դիրքն է, ուրեմն .

Հիշեք ֆունկցիայի ածանցյալի սահմանումը մի կետում՝ ֆունկցիայի ածանցյալ y=f(x)կետում կոչվում է ֆունկցիայի աճի հարաբերության սահմանագիծ արգումենտի ավելացման վրա, որը նշվում է. .

Հետևաբար, , որտեղ է շոշափողի թեքությունը:

Այսպիսով, ֆունկցիայի ածանցյալի առկայությունը y=f(x)կետում համարժեք է ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափողի առկայությանը y=f(x)շփման կետում, և շոշափողի թեքությունը հավասար է կետում ածանցյալի արժեքին, այսինքն .

Մենք եզրակացնում ենք. կետում ֆունկցիայի ածանցյալի երկրաչափական նշանակությունըբաղկացած է այս կետում ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափողի առկայությունից:

20 Ֆունկցիայի տարբերելիությունը կետում: Տարբերակելիության համար անհրաժեշտ և բավարար պայման.

Տվյալ կետում տարբերվող ֆունկցիայի աճը կարող է ներկայացվել որպես արգումենտի ավելացման գծային ֆունկցիա մինչև փոքրության ավելի բարձր կարգի արժեքներ: Սա նշանակում է, որ տվյալ կետի բավական փոքր թաղամասերի համար ֆունկցիան կարող է փոխարինվել գծայինով (ֆունկցիայի փոփոխության արագությունը կարելի է համարել անփոփոխ)։ Ֆունկցիայի աճի գծային մասը կոչվում է նրա դիֆերենցիալ (տվյալ կետում):

Տարբերակելիության համար անհրաժեշտ, բայց ոչ բավարար պայմանը ֆունկցիայի շարունակականությունն է։ Մեկ իրական փոփոխականի ֆունկցիայի դեպքում տարբերակելիությունը համարժեք է ածանցյալի գոյությանը։ Մի քանի իրական փոփոխականների ֆունկցիայի դեպքում տարբերակելիության անհրաժեշտ (բայց ոչ բավարար) պայման է բոլոր փոփոխականների նկատմամբ մասնակի ածանցյալների առկայությունը։ Որպեսզի մի քանի փոփոխականների ֆունկցիան մի կետում տարբերվող լինի, բավական է, որ մասնակի ածանցյալները գոյություն ունենան դիտարկվող կետի ինչ-որ հարևանությամբ և տվյալ կետում լինեն շարունակական:

21 Ֆունկցիայի տարբերելիությունը կետում: Թեորեմ տարբերվող ֆունկցիայի շարունակականության մասին.

Թեորեմ.

Եթե ​​ֆունկցիան տվյալ կետում տարբերակելի է, ապա այդ կետում ֆունկցիան շարունակական է:

Ապացույց.

Թող y=f(x)y=f(x) ֆունկցիան լինի տարբերակելի x0x0 կետում, ապա այս ֆունկցիայի աճը Δy=A⋅Δx+α(Δx)⋅xΔy=A⋅Δx+α(Δx) ⋅x.

Երբ ΔxΔx ֆունկցիայի փաստարկի աճը ձգտում է զրոյի, ΔyΔy ֆունկցիայի աճը նույնպես ձգտում է զրոյի, իսկ դա նշանակում է ֆունկցիայի շարունակականություն։

Այսինքն՝ վերջում մենք ստացանք, որ x0x0 կետում տարբերվող y=f(x)y=f(x) ֆունկցիան այս կետում նույնպես շարունակական ֆունկցիա է։ Ք.Ե.Դ.

Այսպիսով, ֆունկցիայի շարունակականությունը տվյալ կետում անհրաժեշտ, բայց ոչ բավարար պայման է ֆունկցիայի տարբերակելի լինելու համար։

Օրինակ.

Ֆունկցիա y=|x|y=|x| x0x0 կետում շարունակական ֆունկցիա է, բայց այս պահին ֆունկցիան տարբերելի չէ:

Իրոք, ֆունկցիայի աճը հավասար է.

Δy=f(x0+Δx)−f(x0)=|Δx|Δy=f(x0+Δx)−f(x0)=|Δx|.

Դրանով մենք ստանում ենք.

ΔyΔx=|Δx|Δx=(1,Δx>0,−1,Δx<0ΔyΔx=|Δx|Δx={1,Δx>0,−1,Δx<0.

Սահմանային limΔx→0ΔyΔxlimΔx→0ΔyΔx գոյություն չունի, ինչը նշանակում է, որ y=|x|y=|x| ֆունկցիան, որը շարունակական է x0x0 կետում, այս կետում տարբերվող չէ։

22 Ֆունկցիոնալ դիֆերենցիալ: Դիֆերենցիալի երկրաչափական նշանակությունը.

Ֆունկցիայի դիֆերենցիալ ինչ-որ պահի xկոչվում է ֆունկցիայի աճի հիմնական, գծային մասը։

Ֆունկցիայի դիֆերենցիալ y=f(x) հավասար է դրա ածանցյալի արտադրյալին և անկախ փոփոխականի աճին x(փաստարկ):

Գրված է այսպես.

Դիֆերենցիալի երկրաչափական նշանակությունը.Ֆունկցիայի դիֆերենցիալ y=f(x) հավասար է այս ֆունկցիայի գրաֆիկին գծված S շոշափողի օրդինատի աճին M կետում. x; y), երբ այն փոխվում է x(փաստարկ) ըստ արժեքի (տես նկարը):

23 Գումարի և արտադրյալի տարբերակելիության կանոնը.

Երկրորդ տարբերակման կանոնն ապացուցելու համար մենք օգտագործում ենք ածանցյալի սահմանումը և շարունակական ֆունկցիայի սահմանի հատկությունը։

Նմանապես կարելի է ապացուցել, որ գումարի ածանցյալը (տարբերությունը) nֆունկցիաները հավասար են գումարին (տարբերությանը) nածանցյալներ

Փաստենք երկու ֆունկցիաների արտադրյալի տարբերակման կանոնը։

Գրենք ֆունկցիաների արտադրյալի աճի հարաբերակցության սահմանը փաստարկի աճին։ Մենք հաշվի կառնենք, որ և (ֆունկցիայի աճը ձգտում է զրոյի, երբ արգումենտի աճը ձգտում է զրոյի):

Ք.Ե.Դ.

24 Ձևի 1 դիֆերենցիալ անփոփոխություն:

Առաջին դիֆերենցիալի ձևի անփոփոխություն

Եթե xանկախ փոփոխական է, ուրեմն dx = x - x 0 (ֆիքսված աճ): Այս դեպքում ունենք

Դ Ֆ(x 0) = զ"(x 0)dx. (3)

Եթե x = φ (տ) դիֆերենցիալ ֆունկցիա է, ուրեմն dx = φ" (տ 0)dt. Հետևաբար,

այսինքն՝ առաջին դիֆերենցիալն ունի ինվարիանտության հատկություն արգումենտի փոփոխության դեպքում։

25 Ռոլլի թեորեմ.

Ռոլլի թեորեմա (զրոյական ածանցյալ թեորեմ) նշում է, որ

Ապացույց

Եթե ​​ինտերվալի վրա ֆունկցիան հաստատուն է, ապա հայտարարությունը ակնհայտ է, քանի որ ֆունկցիայի ածանցյալը հավասար է զրոյի միջակայքի ցանկացած կետում։

Եթե ​​ոչ, քանի որ հատվածի սահմանային կետերում ֆունկցիայի արժեքները հավասար են, ապա Վայերշտրասի թեորեմի համաձայն, այն վերցնում է իր առավելագույն կամ նվազագույն արժեքը միջակայքի ինչ-որ կետում, այսինքն՝ ունի լոկալ ծայրահեղություն։ այս պահին, և ըստ Ֆերմայի Լեմմայի, այս կետում ածանցյալը հավասար է 0-ի:

երկրաչափական իմաստ

Թեորեմն ասում է, որ եթե հարթ կորի երկու ծայրերի օրդինատները հավասար են, ապա կորի վրա կա մի կետ, որտեղ կորի շոշափողը զուգահեռ է x առանցքին:

26 Լագրանժի թեորեմը և դրա հետևանքները.

Վերջնական աճման բանաձևկամ Լագրանժի միջին արժեքի թեորեմասում է, որ եթե ֆունկցիան շարունակական է հատվածի վրա և տարբերվում է ինտերվալի վրա, ապա կա այնպիսի կետ,

.

Երկրաչափական առումովայն կարելի է վերաձեւակերպել այսպես. հատվածի վրա կա մի կետ, որտեղ շոշափողը զուգահեռ է հատվածի ծայրերին համապատասխանող գրաֆիկի կետերով անցնող ակորդին:

Մեխանիկական մեկնաբանությունԹող - կետի հեռավորությունը տվյալ պահին սկզբնական դիրքից: Այնուհետև կա պահից պահ անցած հեռավորությունը, հարաբերակցությունը միջին արագությունն է այս միջակայքում: Սա նշանակում է, որ եթե մարմնի արագությունը որոշվում է ցանկացած պահի, ապա ինչ-որ պահի այն կհավասարվի այս հատվածում իր միջին արժեքին։

Ապացույց

Մեկ փոփոխական ֆունկցիայի համար՝

Ներկայացնենք մի ֆունկցիա. Այն բավարարում է Rolle-ի թեորեմի պայմանները. հատվածի ծայրերում դրա արժեքները հավասար են զրոյի: Օգտագործելով նշված թեորեմը՝ ստանում ենք, որ կա մի կետ, որտեղ ֆունկցիայի ածանցյալը հավասար է զրոյի.

Ք.Ե.Դ.

Հետևանքներ և ընդհանրացումներ

Լագրանժի վերջավոր աճի թեորեմն ամենակարևոր, առանցքային թեորեմներից մեկն է դիֆերենցիալ հաշվարկի ամբողջ համակարգում։ Այն ունի բազմաթիվ կիրառություններ հաշվողական մաթեմատիկայի մեջ, և մաթեմատիկական վերլուծության հիմնական թեորեմները նույնպես դրա հետևանքներն են։

Հետևանք 1.Զրոյի հավասար ածանցյալ միջակայքում տարբերվող ֆունկցիան հաստատուն է:

Ապացույց.Որևէ մեկի համար և կա այնպիսի կետ, որ .

Այսպիսով, բոլորի համար և , հավասարությունը ճշմարիտ է:

Եզրակացություն 2 (Թեյլորի բանաձևը մնացորդային տերմինով Լագրանժի տեսքով):Եթե ​​ֆունկցիան տարբերվող անգամներ է կետի հարևանությամբ, ապա փոքրերի համար (այսինքն, որոնց համար հատվածը գտնվում է նշված հարևանությամբ) Թեյլորի բանաձևը վավեր է.

որտեղ է որոշ թիվ միջակայքից:

Հետևանք 3.Եթե ​​փոփոխականների ֆունկցիան երկու անգամ տարբերելի է O կետի հարևանությամբ, և նրա բոլոր երկրորդ խառը ածանցյալները O կետում շարունակական են, ապա հավասարությունը ճշմարիտ է այս կետում.

Ապացույց համար.Եկեք ֆիքսենք և դիտարկենք օպերատորների տարբերությունները

Լագրանժի թեորեմով կան թվեր , այնպիսին է, որ

ժամը ֆունկցիայի երկրորդ ածանցյալների շարունակականության պատճառով։

Նմանապես ապացուցված է, որ .

Բայց քանի որ , (որը ուղղակիորեն ստուգվում է), այս սահմանները համընկնում են։

Եզրակացություն 4 (Նյուտոն-Լայբնից բանաձև).Եթե ​​ֆունկցիան տարբերակելի է հատվածի վրա, և դրա ածանցյալը Ռիմանի ինտեգրելի է այս հատվածում, ապա բանաձևը վավեր է. .

Ապացույց.Թող լինի հատվածի կամայական բաժանումը: Կիրառելով Լագրանժի թեորեմը՝ հատվածներից յուրաքանչյուրի վրա մենք գտնում ենք այնպիսի կետ, որ .

Ամփոփելով այս հավասարությունները՝ մենք ստանում ենք.

Ձախ կողմում Ռիմանի ինտեգրալ գումարն է ինտեգրալի և տրված նշված բաժանման համար: Անցնելով բաժանման տրամագծի սահմանին՝ մենք ստանում ենք Նյուտոն-Լայբնից բանաձևը։

Եզրակացություն 5 (վերջավոր հավելումների գնահատման թեորեմ).Թող քարտեզագրումը շարունակաբար տարբերելի լինի տարածության ուռուցիկ կոմպակտ տիրույթում: Հետո .

27 Կաշիի թեորեմա.

Կոշիի միջին արժեքի թեորեմ.

Թողեք երկու ֆունկցիա և տրվեն այնպես, որ. 1. և սահմանված են և շարունակական հատվածի վրա; 2. ածանցյալներ և վերջավոր են միջակայքի վրա. 3. ածանցյալներ և միաժամանակ չեն անհետանում 4 միջակայքում; ապա կա, որի համար ճշմարիտ է. . (Եթե հանենք 4-րդ պայմանը, ապա անհրաժեշտ է, օրինակ, ամրապնդել 3-րդ պայմանը. g «(x)-ը չպետք է անհետանա որևէ տեղ միջակայքում:)

Երկրաչափական առումով սա կարելի է վերաձեւակերպել հետևյալ կերպ. եթե հարթության վրա շարժման օրենքը սահմանված է (այսինքն՝ աբսցիսան և օրդինատը որոշվում են պարամետրի միջոցով), ապա նման կորի ցանկացած հատվածի վրա, որը նշված է պարամետրերով և. կա մի շոշափող վեկտոր, որը համակողմանի է տեղաշարժի վեկտորից մինչև .

Գործառույթի ածանցյալը գտնելու գործընթացը կոչվում է տարբերակում.Ածանցյալը պետք է գտնել մաթեմատիկական վերլուծության ընթացքում մի շարք խնդիրների մեջ: Օրինակ՝ ֆունկցիայի գրաֆիկի ծայրամասային կետերը և թեքման կետերը գտնելիս:

Ինչպե՞ս գտնել:

Ֆունկցիայի ածանցյալը գտնելու համար անհրաժեշտ է իմանալ տարրական ֆունկցիաների ածանցյալների աղյուսակը և կիրառել տարբերակման հիմնական կանոնները.

1. Ածանցյալի նշանից հանելով հաստատունը՝ $$ (Cu)" = C(u)" $$
2. Գործառույթների գումարի/տարբերության ածանցյալը՝ $$ (u \pm v)" = (u)" \pm (v)" $$
3. Երկու ֆունկցիաների արտադրյալի ածանցյալը՝ $$ (u \cdot v)" = u"v + uv" $$
4. Կոտորակի ածանցյալ՝ $$ \bigg (\frac(u)(v) \bigg)" = \frac(u"v - uv")(v^2) $$
5. Բարդ ֆունկցիայի ածանցյալ՝ $$ (f(g(x)))" = f"(g(x)) \cdot g"(x) $$

Լուծման օրինակներ

Օրինակ 1

Գտե՛ք $ y = x^3 - 2x^2 + 7x - 1 $ ֆունկցիայի ածանցյալը.

Որոշում

Գործառույթների գումարի/տարբերության ածանցյալը հավասար է ածանցյալների գումարին/տարբերությանը. $$ y" = (x^3 - 2x^2 + 7x - 1)" = (x^3)" - (2x^2)" + (7x)" - (1)" = $$ Օգտագործելով հզորության ֆունկցիայի ածանցյալ կանոնը $ (x^p)" = px^(p-1) $ մենք ունենք. $$ y" = 3x^(3-1) - 2 \cdot 2 x^(2-1) + 7 - 0 = 3x^2 - 4x + 7 $$ Հաշվի է առնվել նաև, որ հաստատունի ածանցյալը հավասար է զրոյի։ Եթե ​​դուք չեք կարող լուծել ձեր խնդիրը, ապա ուղարկեք այն մեզ: Մենք մանրամասն լուծում կտանք։ Դուք կկարողանաք ծանոթանալ հաշվարկի ընթացքին և տեղեկություններ հավաքել: Սա կօգնի ձեզ ժամանակին ուսուցչից վարկ ստանալ:

Պատասխանել

$$ y" = 3x^2 - 4x + 7 $$

Ֆունկցիայի ածանցյալը դպրոցական ուսումնական ծրագրի ամենադժվար թեմաներից է: Ամեն շրջանավարտ չէ, որ կպատասխանի այն հարցին, թե ինչ է ածանցյալը:

Այս հոդվածը պարզ և հստակ բացատրում է, թե ինչ է ածանցյալը և ինչու է այն անհրաժեշտ:. Մենք այժմ չենք ձգտի մատուցման մաթեմատիկական խստության: Ամենակարևորը իմաստը հասկանալն է։

Հիշենք սահմանումը.

Ածանցյալը ֆունկցիայի փոփոխության արագությունն է։

Նկարում ներկայացված են երեք ֆունկցիաների գրաֆիկներ: Ձեր կարծիքով ո՞րն է ամենաարագ աճում:

Պատասխանն ակնհայտ է՝ երրորդը. Այն ունի փոփոխության ամենաբարձր ցուցանիշը, այսինքն՝ ամենամեծ ածանցյալը։

Ահա ևս մեկ օրինակ.

Կոստյան, Գրիշան և Մատվեյը միաժամանակ աշխատանք գտան։ Տեսնենք, թե տարվա ընթացքում ինչպես են փոխվել նրանց եկամուտները.

Դուք կարող եք անմիջապես տեսնել ամեն ինչ աղյուսակում, այնպես չէ՞: Կոստյայի եկամուտը վեց ամսում ավելացել է ավելի քան երկու անգամ։ Եվ Գրիշայի եկամուտն էլ ավելացավ, բայց մի քիչ։ Իսկ Մեթյուի եկամուտը զրոյի է հասել։ Մեկնարկային պայմանները նույնն են, բայց ֆունկցիայի փոփոխության արագությունը, այսինքն. ածանցյալ, - տարբեր. Ինչ վերաբերում է Մատվեյին, ապա նրա եկամուտների ածանցյալն ընդհանուր առմամբ բացասական է։

Ինտուիտիվ կերպով մենք կարող ենք հեշտությամբ գնահատել ֆունկցիայի փոփոխության արագությունը: Բայց ինչպե՞ս ենք դա անում:

Այն, ինչ մենք իրականում նայում ենք, այն է, թե որքան կտրուկ է ֆունկցիայի գրաֆիկը բարձրանում (կամ իջնում): Այլ կերպ ասած, որքան արագ է փոխվում y-ը x-ով: Ակնհայտ է, որ նույն ֆունկցիան տարբեր կետերում կարող է ունենալ ածանցյալի տարբեր արժեք, այսինքն՝ այն կարող է փոխվել ավելի արագ կամ դանդաղ:

Ֆունկցիայի ածանցյալը նշանակվում է .

Եկեք ցույց տանք, թե ինչպես կարելի է գտնել գրաֆիկի միջոցով:

Կազմված է որոշ ֆունկցիայի գրաֆիկ։ Վերցրեք դրա վրա մի կետ աբսցիսով: Այս կետում գծե՛ք ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափող: Մենք ուզում ենք գնահատել, թե որքան կտրուկ է բարձրանում ֆունկցիայի գրաֆիկը: Դրա համար հարմար արժեք է շոշափողի լանջի շոշափող.

Մի կետում ֆունկցիայի ածանցյալը հավասար է տվյալ կետի ֆունկցիայի գրաֆիկին գծված շոշափողի թեքության շոշափմանը:

Խնդրում ենք նկատի ունենալ. որպես շոշափողի թեքության անկյուն, մենք վերցնում ենք շոշափողի և առանցքի դրական ուղղության անկյունը:

Երբեմն ուսանողները հարցնում են, թե որն է ֆունկցիայի գրաֆիկի շոշափողը: Սա ուղիղ գիծ է, որն ունի այս հատվածի գրաֆիկի հետ միակ ընդհանուր կետը, ընդ որում, ինչպես ցույց է տրված մեր նկարում։ Այն կարծես շոշափում է շրջանագծին:

Եկեք գտնենք. Մենք հիշում ենք, որ ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյան շոշափողը հավասար է հակառակ ոտքի և հարակից ոտքի հարաբերությանը: Եռանկյունից.

Մենք գտանք ածանցյալը գրաֆիկի միջոցով՝ առանց նույնիսկ ֆունկցիայի բանաձևը իմանալու։ Նման առաջադրանքներ հաճախ հանդիպում են մաթեմատիկայի քննությանը թվի տակ։

Կա ևս մեկ կարևոր հարաբերակցություն. Հիշեցնենք, որ ուղիղ գիծը տրված է հավասարմամբ

Այս հավասարման մեջ մեծությունը կոչվում է ուղիղ գծի թեքություն. Այն հավասար է առանցքի ուղիղ գծի թեքության անկյան շոշափմանը։

.

Մենք դա հասկանում ենք

Հիշենք այս բանաձեւը. Այն արտահայտում է ածանցյալի երկրաչափական նշանակությունը։

Մի կետում ֆունկցիայի ածանցյալը հավասար է տվյալ կետում ֆունկցիայի գրաֆիկին գծված շոշափողի թեքությանը:

Այսինքն՝ ածանցյալը հավասար է շոշափողի թեքության շոշափմանը։

Մենք արդեն ասացինք, որ միևնույն ֆունկցիան տարբեր կետերում կարող է ունենալ տարբեր ածանցյալներ։ Տեսնենք, թե ինչպես է ածանցյալը կապված ֆունկցիայի վարքագծի հետ։

Եկեք գծենք որոշ ֆունկցիայի գրաֆիկ։ Թող այս ֆունկցիան որոշ ոլորտներում մեծանա, իսկ որոշ հատվածներում՝ նվազի, և տարբեր տեմպերով: Եվ թող այս ֆունկցիան ունենա առավելագույն և նվազագույն միավորներ։

Մի պահ ֆունկցիան մեծանում է։ Գրաֆիկի շոշափողը, որը գծված է կետում, առանցքի դրական ուղղության հետ կազմում է սուր անկյուն: Այսպիսով, ածանցյալը կետում դրական է:

Այս պահին մեր ֆունկցիան նվազում է։ Այս կետում շոշափողը բութ անկյուն է կազմում առանցքի դրական ուղղության հետ: Քանի որ բութ անկյան շոշափողը բացասական է, կետի ածանցյալը բացասական է:

Ահա թե ինչ է տեղի ունենում.

Եթե ​​ֆունկցիան աճում է, ապա դրա ածանցյալը դրական է:

Եթե ​​այն նվազում է, նրա ածանցյալը բացասական է։

Իսկ ի՞նչ է լինելու առավելագույն և նվազագույն կետերում։ Մենք տեսնում ենք, որ (առավելագույն կետ) և (նվազագույն կետ) շոշափողը հորիզոնական է: Հետևաբար, այս կետերում շոշափողի թեքության շոշափողը զրո է, իսկ ածանցյալը նույնպես զրո է։

Կետը առավելագույն միավորն է: Այս պահին ֆունկցիայի ավելացումը փոխարինվում է նվազմամբ։ Հետևաբար, ածանցյալի նշանը «գումարած»-ից «մինուս» կետում փոխվում է։

Կետում՝ նվազագույն կետում, ածանցյալը նույնպես հավասար է զրոյի, սակայն նրա նշանը «մինուսից» փոխվում է «գումարած»:

Եզրակացություն՝ ածանցյալի օգնությամբ դուք կարող եք պարզել այն ամենը, ինչը մեզ հետաքրքրում է ֆունկցիայի վարքագծի վերաբերյալ։

Եթե ​​ածանցյալը դրական է, ապա ֆունկցիան մեծանում է։

Եթե ​​ածանցյալը բացասական է, ապա ֆունկցիան նվազում է։

Առավելագույն կետում ածանցյալը զրո է և նշանը գումարածից փոխում է մինուսի:

Նվազագույն կետում ածանցյալը նույնպես զրո է և նշանը փոխում է մինուսից պլյուսի:

Այս բացահայտումները մենք գրում ենք աղյուսակի տեսքով.

	ավելանում է	առավելագույն միավոր	նվազում է	նվազագույն միավոր	ավելանում է
+	0	-	0	+

Երկու փոքր պարզաբանում անենք. Դրանցից մեկը ձեզ պետք կգա քննական խնդիրները լուծելիս։ Մեկ այլ՝ առաջին կուրսում՝ ֆունկցիաների և ածանցյալների ավելի լուրջ ուսումնասիրությամբ։

Հնարավոր է դեպք, երբ ֆունկցիայի ածանցյալը ինչ-որ կետում հավասար է զրոյի, բայց ֆունկցիան այս պահին չունի ոչ առավելագույն, ոչ էլ նվազագույն: Այս այսպես կոչված :

Մի կետում գրաֆիկի շոշափողը հորիզոնական է, իսկ ածանցյալը` զրո: Այնուամենայնիվ, կետից առաջ ֆունկցիան ավելացել է, իսկ կետից հետո այն շարունակում է աճել: Ածանցյալի նշանը չի փոխվում. այն մնացել է դրական, ինչպես եղել է։

Պատահում է նաև, որ առավելագույնի կամ նվազագույնի կետում ածանցյալը գոյություն չունի։ Գրաֆիկի վրա դա համապատասխանում է կտրուկ ընդմիջմանը, երբ տվյալ կետում անհնար է շոշափել:

Բայց ինչպե՞ս գտնել ածանցյալը, եթե ֆունկցիան տրված է ոչ թե գրաֆիկով, այլ բանաձևով։ Այս դեպքում դա վերաբերում է

Երկրաչափության, մեխանիկայի, ֆիզիկայի և գիտելիքի այլ ճյուղերի տարբեր խնդիրներ լուծելիս անհրաժեշտություն է առաջացել օգտագործել տվյալ ֆունկցիայից նույն վերլուծական գործընթացը։ y=f(x)ստացեք նոր ֆունկցիա, որը կոչվում է ածանցյալ ֆունկցիա(կամ պարզապես ածանցյալ) այս ֆունկցիայի f(x)և խորհրդանշվում են

Գործընթացը, որով տրված գործառույթը f(x)ստանալ նոր գործառույթ f"(x), կանչեց տարբերակումև այն բաղկացած է հետևյալ երեք քայլերից. 1) տալիս ենք փաստարկը xավելացում  xև որոշել ֆունկցիայի համապատասխան աճը  y = f(x+ x)-f(x); 2) կազմել հարաբերությունը

3) հաշվում xմշտական, և  x0, գտնում ենք
, որը նշվում է f"(x), կարծես շեշտելով, որ ստացված ֆունկցիան կախված է միայն արժեքից x, որով անցնում ենք սահմանին։ Սահմանում: Ածանցյալ y «=f» (x) տրված ֆունկցիա y=f(x) տրված xկոչվում է ֆունկցիայի աճի հարաբերակցության սահմանագիծ արգումենտի աճին, պայմանով, որ արգումենտի աճը հակված է զրոյի, եթե, իհարկե, այդ սահմանը գոյություն ունի, այսինքն. վերջավոր. Այսպիսով,
, կամ

Նկատի ունեցեք, որ եթե որոշ արժեքի համար x, օրինակ, երբ x=a, հարաբերություն
ժամը  x0-ը չի ձգտում դեպի վերջավոր սահման, ապա այս դեպքում ասում ենք, որ ֆունկցիան f(x)ժամը x=a(կամ կետում x=a) չունի ածանցյալ կամ տարբերվող չէ մի կետում x=a.

2. Ածանցյալի երկրաչափական նշանակությունը.

Դիտարկենք y \u003d f (x) ֆունկցիայի գրաֆիկը, որը տարբերվում է x 0 կետի մոտակայքում

f(x)

Դիտարկենք կամայական ուղիղ գիծ, ​​որն անցնում է ֆունկցիայի գրաֆիկի կետով՝ A կետով (x 0, f (x 0)) և հատում է գրաֆիկը ինչ-որ B կետում (x; f (x)): Նման ուղիղ գիծը (AB) կոչվում է սեկանտ: ∆ABC-ից՝ AC = ∆x; BC \u003d ∆y; tgβ=∆y/∆x .

Քանի որ AC || Ox, ապա ALO = BAC = β (որպես զուգահեռաբար համապատասխան): Բայց ALO-ն AB հատվածի թեքության անկյունն է Ox առանցքի դրական ուղղության նկատմամբ։ Այսպիսով, tgβ = k-ը AB ուղիղ գծի թեքությունն է:

Այժմ մենք կնվազեցնենք ∆x, այսինքն. ∆x→ 0. Այս դեպքում B կետը ըստ գրաֆիկի կմոտենա A կետին, իսկ AB հատվածը կպտտվի։ AB հատվածի սահմանափակող դիրքը ∆x → 0-ում կլինի ուղիղ գիծը (a), որը կոչվում է շոշափող y \u003d f (x) ֆունկցիայի գրաֆիկին A կետում:

Եթե ​​tgβ =∆y/∆x հավասարության մեջ անցնենք ∆х → 0 սահմանին, ապա կստանանք.
կամ tg \u003d f "(x 0), քանի որ
- Ox առանցքի դրական ուղղությանը շոշափողի թեքության անկյուն
, ըստ ածանցյալի սահմանման։ Բայց tg \u003d k-ը շոշափողի թեքությունն է, ինչը նշանակում է, որ k \u003d tg \u003d f "(x 0):

Այսպիսով, ածանցյալի երկրաչափական իմաստը հետևյալն է.

Ֆունկցիայի ածանցյալ x կետում 0 հավասար է x աբսցիսայով գծված ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափողի թեքությանը 0 .

3. Ածանցյալի ֆիզիկական իմաստը.

Դիտարկենք կետի շարժումը ուղիղ գծով: Թող կետի կոորդինատը տրվի ցանկացած ժամանակ x(t): Հայտնի է (ֆիզիկայի դասընթացից), որ միջին արագությունը որոշակի ժամանակահատվածում հավասար է այս ժամանակահատվածում անցած ճանապարհի հարաբերակցությանը ժամանակին, այսինքն.

Vav = ∆x/∆t. Վերջին հավասարության սահմանին անցնենք ∆t → 0։

lim Vav (t) = (t 0) - ակնթարթային արագություն t 0, ∆t → 0 պահին:

և lim = ∆x/∆t = x "(t 0) (ածանցյալի սահմանմամբ):

Այսպիսով, (t) = x"(t):

Ածանցյալի ֆիզիկական իմաստը հետևյալն է՝ ֆունկցիայի ածանցյալy = զ(x) կետումx 0 ֆունկցիայի փոփոխության արագությունն էզ(x) կետումx 0

Ածանցյալն օգտագործվում է ֆիզիկայում՝ ժամանակից կոորդինատների հայտնի ֆունկցիայից արագությունը գտնելու համար, ժամանակից արագության հայտնի ֆունկցիայից արագացումը։

 (t) \u003d x "(t) - արագություն,

a(f) = "(t) - արագացում, կամ

Եթե ​​հայտնի է շրջանագծի երկայնքով նյութական կետի շարժման օրենքը, ապա պտտվող շարժման ժամանակ հնարավոր է գտնել անկյունային արագությունը և անկյունային արագացումը.

φ = φ(t) - անկյան փոփոխություն ժամանակի հետ,

ω \u003d φ "(t) - անկյունային արագություն,

ε = φ"(t) - անկյունային արագացում, կամ ε = φ"(t):

Եթե ​​հայտնի է անհամասեռ ձողի զանգվածի բաշխման օրենքը, ապա կարելի է գտնել անհամասեռ ձողի գծային խտությունը.

m \u003d m (x) - զանգված,

x , l - ձողի երկարությունը,

p \u003d m "(x) - գծային խտություն:

Ածանցյալի օգնությամբ լուծվում են առաձգականության տեսությունից և ներդաշնակ թրթիռների խնդիրներ։ Այո, Հուկի օրենքի համաձայն

F = -kx, x-ը փոփոխական կոորդինատ է, k-ը՝ զսպանակի առաձգականության գործակիցը։ Դնելով ω 2 \u003d k / m, մենք ստանում ենք զսպանակային ճոճանակի դիֆերենցիալ հավասարումը x "(t) + ω 2 x (t) \u003d 0,

որտեղ ω = √k/√m-ը տատանումների հաճախականությունն է (l/c), k-ը՝ զսպանակի արագությունը (H/m):

Y «+ ω 2 y \u003d 0» ձևի հավասարումը կոչվում է ներդաշնակ տատանումների հավասարում (մեխանիկական, էլեկտրական, էլեկտրամագնիսական): Նման հավասարումների լուծումը ֆունկցիան է.

y = Ասին (ωt + φ 0) կամ y = Acos (ωt + φ 0), որտեղ

A - տատանումների ամպլիտուդ, ω - ցիկլային հաճախականություն,

φ 0 - նախնական փուլ.