Հաշվիր տարածքը օգտագործելով ինտեգրալը: Ինչպե՞ս հաշվարկել հարթ գործչի մակերեսը կրկնակի ինտեգրալով: Այս դեպքում

Մենք սկսում ենք դիտարկել կրկնակի ինտեգրալի հաշվարկման իրական գործընթացը և ծանոթանալ դրա երկրաչափական նշանակությանը։

Կրկնակի ինտեգրալը թվայինորեն հավասար է հարթության գործչի մակերեսին (ինտեգրման շրջան): Սա կրկնակի ինտեգրալի ամենապարզ ձևն է, երբ երկու փոփոխականների ֆունկցիան հավասար է մեկին.

Նախ, եկեք նայենք խնդրին ընդհանուր տեսքով: Այժմ դուք կզարմանաք, թե որքան պարզ է ամեն ինչ իրականում: Եկեք հաշվարկենք տողերով սահմանափակված հարթ գործչի մակերեսը: Որոշակիության համար մենք ենթադրում ենք, որ հատվածում . Այս ցուցանիշի մակերեսը թվայինորեն հավասար է.

Եկեք պատկերենք գծագրության տարածքը.

Եկեք ընտրենք տարածքը անցնելու առաջին ճանապարհը.

Այսպիսով.

Եվ անմիջապես կարևոր տեխնիկական տեխնիկա. կրկնվող ինտեգրալները կարող են հաշվարկվել առանձին. Սկզբում ներքին, ապա արտաքին ինտեգրալը։ Ես բարձր խորհուրդ եմ տալիս այս մեթոդը թեմայի սկսնակներին:

1) Հաշվարկենք ներքին ինտեգրալը, և ինտեգրումն իրականացվում է «y» փոփոխականի վրա.

Անորոշ ինտեգրալն այստեղ ամենապարզն է, և այնուհետև օգտագործվում է Նյուտոն-Լայբնից բանաձևը, միակ տարբերությամբ, որ. Ինտեգրման սահմանները թվերը չեն, այլ գործառույթները. Նախ, մենք վերին սահմանը փոխարինեցինք «y»-ով (հակածանցյալ ֆունկցիա), այնուհետև՝ ստորին սահմանով

2) առաջին պարբերությամբ ստացված արդյունքը պետք է փոխարինվի արտաքին ինտեգրալով.

Ամբողջ լուծման ավելի կոմպակտ ներկայացումն ունի հետևյալ տեսքը.

Ստացված բանաձեւը սա հենց աշխատանքային բանաձևն է հարթ գործչի մակերեսը հաշվարկելու համար՝ օգտագործելով «սովորական» որոշակի ինտեգրալը: Դիտեք դասը Տարածքի հաշվարկը որոշակի ինտեգրալի միջոցով, այնտեղ է նա ամեն քայլափոխի։

Այսինքն՝ Կրկնակի ինտեգրալով տարածքի հաշվարկման խնդիր ոչ շատ տարբերորոշակի ինտեգրալ օգտագործելով տարածքը գտնելու խնդրից։Փաստորեն, դա նույն բանն է։

Ըստ այդմ, ոչ մի դժվարություն չպետք է առաջանա: Ես շատ օրինակներ չեմ անդրադառնա, քանի որ դուք, փաստորեն, բազմիցս հանդիպել եք այս խնդրին:

Օրինակ 9

Լուծում:Եկեք պատկերենք գծագրության տարածքը.

Ընտրենք տարածքի անցման հետևյալ կարգը.

Այստեղ և հետագայում ես չեմ անդրադառնա, թե ինչպես անցնել տարածքը, քանի որ շատ մանրամասն բացատրություններ տրվեցին առաջին պարբերությունում:

Այսպիսով.

Ինչպես արդեն նշեցի, սկսնակների համար ավելի լավ է կրկնվող ինտեգրալները առանձին-առանձին հաշվարկեն, և ես կմնամ նույն մեթոդին.

1) Նախ, օգտագործելով Նյուտոն-Լայբնից բանաձևը, մենք գործ ունենք ներքին ինտեգրալի հետ.

2) Առաջին քայլում ստացված արդյունքը փոխարինվում է արտաքին ինտեգրալով.

2-րդ կետը իրականում գտնում է հարթ գործչի մակերեսը՝ օգտագործելով որոշակի ինտեգրալ:

Պատասխան.

Սա այնքան հիմար ու միամիտ խնդիր է։

Անկախ լուծման համար հետաքրքիր օրինակ.

Օրինակ 10

Օգտագործելով կրկնակի ինտեգրալ, հաշվարկեք հարթ գործչի մակերեսը, որը սահմանափակված է գծերով,

Վերջնական լուծման մոտավոր օրինակ դասի վերջում.

Օրինակներ 9-10-ում շատ ավելի շահավետ է օգտագործել տարածքը շրջելու առաջին մեթոդը, ի դեպ, կարող են փոխել անցման կարգը և հաշվարկել տարածքները՝ օգտագործելով երկրորդ մեթոդը. Եթե ​​դուք չեք սխալվում, ապա, բնականաբար, դուք կստանաք նույն տարածքի արժեքները:

Բայց որոշ դեպքերում տարածքը անցնելու երկրորդ մեթոդն ավելի արդյունավետ է, և երիտասարդ խելագարների դասընթացի վերջում եկեք նայենք ևս մի քանի օրինակ այս թեմայով.

Օրինակ 11

Օգտագործելով կրկնակի ինտեգրալ, հաշվարկեք հարթ գործչի մակերեսը, որը սահմանափակված է գծերով,

Լուծում:Մենք անհամբեր սպասում ենք երկու պարաբոլայի՝ իրենց կողքերում ընկած տարօրինակություններով: Պետք չէ ժպտալ։

Ո՞րն է նկարչություն անելու ամենահեշտ ձևը:

Պատկերացնենք պարաբոլան երկու ֆունկցիայի տեսքով.
– վերին ճյուղը և – ստորին ճյուղը:

Նմանապես, պատկերացրեք պարաբոլան վերին և ստորին մասի տեսքով մասնաճյուղեր.

Հաջորդը, գծապատկերների կետային գծագրման կանոնները, արդյունքում ստացվում է այսպիսի տարօրինակ պատկեր.

Մենք հաշվարկում ենք գործչի տարածքը, օգտագործելով կրկնակի ինտեգրալը ըստ բանաձևի.

Ի՞նչ կլինի, եթե ընտրենք տարածքը անցնելու առաջին մեթոդը: Նախ, այս տարածքը պետք է բաժանվի երկու մասի. Եվ երկրորդ, մենք կդիտարկենք այս տխուր պատկերը. . Ինտեգրալները, իհարկե, գերբարդ մակարդակի չեն, բայց... հին մաթեմատիկական ասացվածք կա՝ իրենց արմատներին մոտ գտնվողները թեստ պետք չեն։

Հետևաբար, պայմանում տրված թյուրիմացությունից մենք արտահայտում ենք հակադարձ գործառույթները.

Այս օրինակում հակադարձ գործառույթներն ունեն այն առավելությունը, որ նրանք միանգամից նշում են ամբողջ պարաբոլան առանց տերևների, կաղինների, ճյուղերի և արմատների:

Երկրորդ մեթոդի համաձայն, տարածքի անցումը կլինի հետևյալը.

Այսպիսով.

Ինչպես ասում են՝ զգացեք տարբերությունը։

1) Մենք գործ ունենք ներքին ինտեգրալի հետ.

Մենք արդյունքը փոխարինում ենք արտաքին ինտեգրալով.

«y» փոփոխականի վրա ինտեգրումը չպետք է շփոթեցնի, եթե լիներ «zy» տառը, լավ կլիներ ինտեգրվել դրա վրա: Չնայած ով է կարդացել դասի երկրորդ պարբերությունը Ինչպես հաշվարկել պտտվող մարմնի ծավալը, նա այլևս չի զգում ամենափոքր անհարմարությունը «Y» մեթոդով ինտեգրման հետ կապված:

Ուշադրություն դարձրեք նաև առաջին քայլին. ինտեգրանդը զույգ է, իսկ ինտեգրման միջակայքը սիմետրիկ է զրոյի նկատմամբ: Հետեւաբար, հատվածը կարող է կրկնակի կրճատվել, իսկ արդյունքը կարող է կրկնապատկվել: Այս տեխնիկան մանրամասնորեն մեկնաբանվում է դասում: Արդյունավետ մեթոդներորոշակի ինտեգրալի հաշվարկ.

Ինչ ավելացնել... Բոլորը!

Պատասխան.

Ձեր ինտեգրման տեխնիկան ստուգելու համար կարող եք փորձել հաշվարկել . Պատասխանը պետք է լինի ճիշտ նույնը.

Օրինակ 12

Օգտագործելով կրկնակի ինտեգրալ, հաշվարկեք հարթ գործչի մակերեսը, որը սահմանափակված է գծերով

Սա ձեզ համար օրինակ է ինքնուրույն լուծելու համար։ Հետաքրքիր է նշել, որ եթե դուք փորձեք օգտագործել տարածքը անցնելու առաջին մեթոդը, ապա նկարն այլևս ստիպված չի լինի բաժանել երկու, այլ երեք մասի: Եվ, համապատասխանաբար, մենք ստանում ենք երեք զույգ կրկնվող ինտեգրալներ: Սա նույնպես տեղի է ունենում.

Վարպետության դասն ավարտվել է, և ժամանակն է անցնել գրոսմայստերի մակարդակին. Ինչպե՞ս հաշվարկել կրկնակի ինտեգրալը: Լուծումների օրինակներ. Երկրորդ հոդվածում կփորձեմ այդքան մոլագար չլինել =)

Մաղթում եմ ձեզ հաջողություն!

Լուծումներ և պատասխաններ.

Օրինակ 2:Լուծում: Եկեք պատկերենք տարածքը գծագրի վրա.

Ընտրենք տարածքի անցման հետևյալ կարգը.

Այսպիսով.
Եկեք անցնենք հակադարձ գործառույթներին.


Այսպիսով.
Պատասխան.

Օրինակ 4:Լուծում: Եկեք անցնենք ուղիղ գործառույթներին.


Եկեք նկարենք.

Եկեք փոխենք տարածքը անցնելու կարգը.

Պատասխան.

Վերլուծության վերաբերյալ նախորդ բաժնում երկրաչափական իմաստորոշակի ինտեգրալ, մենք ստացանք մի շարք բանաձևեր կորագիծ տրապիզոնի տարածքը հաշվարկելու համար.

Yandex.RTB R-A-339285-1

S (G) = ∫ a b f (x) d x շարունակական և ոչ բացասական ֆունկցիայի համար y = f (x) [ a ; բ ],

S (G) = - ∫ a b f (x) d x շարունակական և ոչ դրական ֆունկցիայի համար y = f (x) [ a ; բ ] .

Այս բանաձեւերը կիրառելի են համեմատաբար պարզ խնդիրներ լուծելու համար։ Իրականում մենք հաճախ ստիպված ենք լինելու աշխատել ավելի բարդ գործիչների հետ։ Այս առումով մենք այս բաժինը կնվիրենք ալգորիթմների վերլուծությանը թվերի տարածքը հաշվարկելու համար, որոնք սահմանափակվում են բացահայտ ձևով գործառույթներով, այսինքն. ինչպես y = f(x) կամ x = g(y):

Թեորեմ

Թող y = f 1 (x) և y = f 2 (x) ֆունկցիաները լինեն սահմանված և շարունակական [ a ; b ] , և f 1 (x) ≤ f 2 (x) ցանկացած x արժեքի համար [ a ; բ ] . Այնուհետև x = a, x = b, y = f 1 (x) և y = f 2 (x) տողերով սահմանափակված G նկարի տարածքը հաշվարկելու բանաձևը նման կլինի S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x.

Նմանատիպ բանաձևը կիրառելի կլինի y = c, y = d, x = g 1 (y) և x = g 2 (y) տողերով սահմանափակված գործչի տարածքի համար. S (G) = ∫ c d ( g 2 (y) - g 1 (y) d y.

Ապացույց

Դիտարկենք երեք դեպք, որոնց համար բանաձևը վավեր կլինի.

Առաջին դեպքում, հաշվի առնելով տարածքի հավելյալության հատկությունը, սկզբնական պատկեր G-ի և կորագծային G1-ի մակերեսների գումարը հավասար է G2 նկարի մակերեսին: Սա նշանակում է, որ

Հետևաբար, S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) dx.

Վերջին անցումը կարող ենք կատարել՝ օգտագործելով որոշակի ինտեգրալի երրորդ հատկությունը։

Երկրորդ դեպքում հավասարությունը ճիշտ է՝ S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - f 1 (x)) d x

Գրաֆիկական նկարազարդումը կունենա հետևյալ տեսքը.

Եթե ​​երկու ֆունկցիաներն էլ ոչ դրական են, մենք ստանում ենք՝ S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f) 2 (x) - f 1 (x)) d x. Գրաֆիկական նկարազարդումը կունենա հետևյալ տեսքը.

Եկեք շարունակենք դիտարկել ընդհանուր դեպքը, երբ y = f 1 (x) և y = f 2 (x) հատում են O x առանցքը:

Հատման կետերը նշում ենք x i, i = 1, 2, . . . , n - 1 . Այս կետերը բաժանում են հատվածը [a; b ] մեջ n մասեր x i - 1 ; x i, i = 1, 2, . . . , n, որտեղ α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

Հետևաբար,

S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x

Վերջին անցումը կարող ենք կատարել՝ օգտագործելով որոշակի ինտեգրալի հինգերորդ հատկությունը։

Եկեք պատկերացնենք գրաֆիկի ընդհանուր դեպքը:

S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x բանաձեւը կարելի է համարել ապացուցված։

Այժմ եկեք անցնենք y = f (x) և x = g (y) տողերով սահմանափակված թվերի տարածքը հաշվարկելու օրինակների վերլուծությանը:

Օրինակներից որևէ մեկի մեր դիտարկումը կսկսենք գրաֆիկ կառուցելով: Պատկերը մեզ թույլ կտա բարդ ձևերը ներկայացնել որպես ավելի պարզ ձևերի միություններ: Եթե ​​դրանց վրա գրաֆիկներ և պատկերներ կառուցելը ձեզ դժվարություններ է առաջացնում, կարող եք ուսումնասիրել հիմնական տարրական ֆունկցիաների բաժինը, ֆունկցիաների գրաֆիկների երկրաչափական վերափոխումը, ինչպես նաև ֆունկցիան ուսումնասիրելիս գրաֆիկներ կառուցելը:

Օրինակ 1

Անհրաժեշտ է որոշել նկարի տարածքը, որը սահմանափակվում է y = - x 2 + 6 x - 5 պարաբոլով և ուղիղ գծերով y = - 1 3 x - 1 2, x = 1, x = 4:

Լուծում

Դեկարտյան կոորդինատային համակարգում գծենք գրաֆիկի գծերը։

Սեգմենտի վրա [1; 4 ] y = - x 2 + 6 x - 5 պարաբոլայի գրաֆիկը գտնվում է y = - 1 3 x - 1 2 ուղիղ գծի վերևում։ Այս առումով պատասխան ստանալու համար մենք օգտագործում ենք ավելի վաղ ստացված բանաձևը, ինչպես նաև որոշիչ ինտեգրալի հաշվարկման մեթոդը՝ օգտագործելով Նյուտոն-Լայբնից բանաձևը.

S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13

Պատասխան՝ S(G) = 13

Դիտարկենք ավելի բարդ օրինակ:

Օրինակ 2

Անհրաժեշտ է հաշվարկել նկարի տարածքը, որը սահմանափակված է y = x + 2, y = x, x = 7 տողերով:

Լուծում

Այս դեպքում մենք ունենք միայն մեկ ուղիղ, որը գտնվում է x-առանցքին զուգահեռ: Սա x = 7 է: Սա պահանջում է, որ մենք ինքներս գտնենք ինտեգրման երկրորդ սահմանը:

Եկեք կառուցենք գրաֆիկ և դրա վրա գծենք խնդրի դրույթում տրված տողերը:

Ունենալով գրաֆիկը մեր աչքի առաջ՝ հեշտությամբ կարող ենք որոշել, որ ինտեգրման ստորին սահմանը կլինի y = x ուղիղ գծի գրաֆիկի հատման կետի աբսցիսան և y = x + 2 կիսապարաբոլան։ Աբսցիսա գտնելու համար մենք օգտագործում ենք հավասարումները.

y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O DZ x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O DZ

Ստացվում է, որ հատման կետի աբսցիսան x = 2 է։

Ձեր ուշադրությունն ենք հրավիրում այն ​​փաստի վրա, որ գծագրի ընդհանուր օրինակում y = x + 2, y = x ուղիղները հատվում են (2; 2) կետում, ուստի նման մանրամասն հաշվարկները կարող են ավելորդ թվալ: Մենք այստեղ նման մանրամասն լուծում ենք տվել միայն այն պատճառով, որ ավելի բարդ դեպքերում լուծումն այնքան էլ ակնհայտ չի կարող լինել։ Սա նշանակում է, որ միշտ ավելի լավ է վերլուծական կերպով հաշվարկել գծերի հատման կոորդինատները։

ինտերվալի վրա [2; 7] y = x ֆունկցիայի գրաֆիկը գտնվում է y = x + 2 ֆունկցիայի գրաֆիկից վեր։ Տարածքը հաշվարկելու համար կիրառենք բանաձևը.

S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6

Պատասխան՝ S (G) = 59 6

Օրինակ 3

Անհրաժեշտ է հաշվարկել նկարի տարածքը, որը սահմանափակվում է y = 1 x և y = - x 2 + 4 x - 2 ֆունկցիաների գրաֆիկներով:

Լուծում

Եկեք գծենք գծերը գրաֆիկի վրա:

Եկեք սահմանենք ինտեգրման սահմանները. Դա անելու համար մենք որոշում ենք ուղիղների հատման կետերի կոորդինատները՝ հավասարեցնելով 1 x և - x 2 + 4 x - 2 արտահայտությունները։ Պայմանով, որ x-ը զրո չէ, 1 x = - x 2 + 4 x - 2 հավասարությունը համարժեք է դառնում երրորդ աստիճանի հավասարմանը - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0 ամբողջ թվային գործակիցներով: Նման հավասարումների լուծման ալգորիթմի մասին հիշողությունը թարմացնելու համար կարող ենք անդրադառնալ «Խորանարդ հավասարումների լուծում» բաժինը։

Այս հավասարման արմատը x = 1 է: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0:

- x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 արտահայտությունը x - 1 երկանդամով բաժանելով՝ ստանում ենք՝ - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x. - 1) = 0

Մենք կարող ենք գտնել մնացած արմատները x 2 - 3 x - 1 = 0 հավասարումից:

x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 · 1 · (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3: 3; x 2 = 3 - 13 2 ≈ - 0: 3

Մենք գտանք x ∈ 1 միջակայքը; 3 + 13 2, որում G նկարը պարունակվում է կապույտ գծի վերևում և կարմիր գծի տակ: Սա օգնում է մեզ որոշել նկարի տարածքը.

S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Պատասխան՝ S (G) = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Օրինակ 4

Անհրաժեշտ է հաշվարկել նկարի տարածքը, որը սահմանափակվում է y = x 3, y = - log 2 x + 1 կորերով և աբսցիսայի առանցքով:

Լուծում

Եկեք գծենք գրաֆիկի բոլոր տողերը: Մենք կարող ենք ստանալ y = - log 2 x + 1 ֆունկցիայի գրաֆիկը y = log 2 x գրաֆիկից, եթե այն սիմետրիկ կերպով տեղադրենք x առանցքի նկատմամբ և տեղափոխենք մեկ միավոր վերև։ x առանցքի հավասարումը y = 0 է:

Նշենք գծերի հատման կետերը։

Ինչպես երևում է նկարից, y = x 3 և y = 0 ֆունկցիաների գրաֆիկները հատվում են (0; 0) կետում։ Դա տեղի է ունենում, քանի որ x = 0-ը x 3 = 0 հավասարման միակ իրական արմատն է:

x = 2 - log 2 x + 1 = 0 հավասարման միակ արմատն է, ուստի y = - log 2 x + 1 և y = 0 ֆունկցիաների գրաֆիկները հատվում են (2; 0) կետում:

x = 1 հավասարման միակ արմատն է x 3 = - log 2 x + 1: Այս առումով y = x 3 և y = - log 2 x + 1 ֆունկցիաների գրաֆիկները հատվում են (1; 1) կետում: Վերջին պնդումը կարող է ակնհայտ չլինել, բայց x 3 = - log 2 x + 1 հավասարումը չի կարող ունենալ մեկից ավելի արմատ, քանի որ y = x 3 ֆունկցիան խիստ աճում է, իսկ y = - log 2 x + 1 ֆունկցիան. խիստ նվազում:

Հետագա լուծումը ներառում է մի քանի տարբերակ.

Տարբերակ թիվ 1

Մենք կարող ենք պատկերացնել G նկարը որպես x առանցքի վերևում գտնվող երկու կորագիծ տրապիզոիդների գումար, որոնցից առաջինը գտնվում է x ∈ 0 հատվածի միջնագծից ներքև; 1, իսկ երկրորդը գտնվում է x ∈ 1 հատվածի կարմիր գծի տակ; 2. Սա նշանակում է, որ տարածքը հավասար կլինի S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x:

Տարբերակ թիվ 2

Նկար G-ը կարող է ներկայացվել որպես երկու թվերի տարբերություն, որոնցից առաջինը գտնվում է x առանցքի վերևում և x ∈ 0 հատվածի կապույտ գծի տակ; 2, իսկ երկրորդը x ∈ 1 հատվածի կարմիր և կապույտ գծերի միջև; 2. Սա թույլ է տալիս մեզ գտնել տարածքը հետևյալ կերպ.

S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x

Այս դեպքում տարածքը գտնելու համար դուք պետք է օգտագործեք S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y ձևի բանաձևը: Փաստորեն, գծերը, որոնք կապում են նկարը, կարող են ներկայացվել որպես y փաստարկի գործառույթներ:

Լուծենք y = x 3 և - log 2 x + 1 հավասարումները x-ի նկատմամբ.

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y

Մենք ստանում ենք անհրաժեշտ տարածքը.

S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4

Պատասխան՝ S (G) = 1 ln 2 - 1 4

Օրինակ 5

Անհրաժեշտ է հաշվարկել նկարի տարածքը, որը սահմանափակվում է y = x, y = 2 3 x - 3, y = - 1 2 x + 4 տողերով:

Լուծում

Կարմիր գծով գծում ենք y = x ֆունկցիայով սահմանված գիծը։ Կապույտ գույնով գծելու ենք y = - 1 2 x + 4, իսկ սևով y = 2 3 x - 3 գիծը:

Նշենք հատման կետերը։

Գտնենք y = x և y = - 1 2 x + 4 ֆունկցիաների գրաֆիկների հատման կետերը:

x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16; x 2 = 20 - 144 2 = 4 Ստուգում. x 1 = 16 = 4, - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 ոչ Արդյո՞ք x 2 = հավասարման լուծումը 4 = 2, - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 հավասարման լուծումն է ⇒ (4; 2) հատման կետ i y = x և y = - 1 2 x. + 4

Գտնենք y = x և y = 2 3 x - 3 ֆունկցիաների գրաֆիկների հատման կետը:

x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Ստուգեք՝ x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 ⇒ (9 ; 3) հավասարման լուծումն է a s y = x և y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 Հավասարման լուծում չկա

Գտնենք y = - 1 2 x + 4 և y = 2 3 x - 3 ուղիղների հատման կետը:

1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 ; 1 ) հատման կետը y = - 1 2 x + 4 և y = 2 3 x - 3

Մեթոդ թիվ 1

Եկեք պատկերացնենք ցանկալի գործչի մակերեսը որպես առանձին թվերի տարածքների գումար:

Այնուհետև նկարի մակերեսը հետևյալն է.

S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3

Մեթոդ թիվ 2

Բնօրինակ գործչի տարածքը կարող է ներկայացվել որպես երկու այլ թվերի գումար:

Այնուհետև մենք լուծում ենք x-ի հարաբերական գծի հավասարումը և միայն դրանից հետո կիրառում ենք նկարի տարածքը հաշվարկելու բանաձևը:

y = x ⇒ x = y 2 կարմիր գիծ y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 սև գիծ y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i a l i n e

Այսպիսով, տարածքը հետևյալն է.

S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d y + ∫ 3 3 2 y + 9 2 - y 2 y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

Ինչպես տեսնում եք, արժեքները նույնն են.

Պատասխան՝ S (G) = 11 3

Արդյունքներ

Տրված գծերով սահմանափակված գործչի տարածքը գտնելու համար մենք պետք է հարթության վրա գծեր կառուցենք, գտնենք դրանց հատման կետերը և կիրառենք տարածքը գտնելու բանաձևը: Այս բաժնում մենք ուսումնասիրեցինք առաջադրանքների ամենատարածված տարբերակները:

Եթե ​​տեքստում սխալ եք նկատել, ընդգծեք այն և սեղմեք Ctrl+Enter

Նկարի մակերեսի հաշվարկ- Սա տարածքի տեսության, թերեւս, ամենաբարդ խնդիրներից մեկն է։ Դպրոցական երկրաչափության մեջ նրանք ձեզ սովորեցնում են գտնել հիմնական երկրաչափական ձևերի տարածքները, ինչպիսիք են, օրինակ, եռանկյունը, ռոմբը, ուղղանկյունը, տրապիզը, շրջանը և այլն: Այնուամենայնիվ, հաճախ պետք է զբաղվեք ավելի բարդ թվերի տարածքների հաշվարկով: Հենց նման խնդիրներ լուծելիս է շատ հարմար օգտագործել ինտեգրալ հաշվարկը։

Սահմանում.

Curvilinear trapezoidկանչել G որոշ թվեր, որոնք սահմանափակված են y = f(x), y = 0, x = a և x = b ուղիղներով, իսկ f(x) ֆունկցիան շարունակական է [a; բ] և չի փոխում իր նշանը դրա վրա (նկ. 1):Կուռ տրապիզոիդի տարածքը կարելի է նշանակել S(G):

Որոշակի ինտեգրալ ʃ a b f(x)dx f(x) ֆունկցիայի համար, որը շարունակական է և ոչ բացասական [a; b] և համապատասխան կոր trapezoid-ի մակերեսն է:

Այսինքն՝ y = f(x), y = 0, x = a և x = b տողերով սահմանափակված G գործչի մակերեսը գտնելու համար անհրաժեշտ է հաշվարկել որոշակի ինտեգրալ ʃ a b f(x)dx: .

Այսպիսով, S(G) = ʃ a b f(x)dx.

Եթե ​​y = f(x) ֆունկցիան դրական չէ [a; b], ապա կոր trapezoid-ի տարածքը կարելի է գտնել բանաձևով S(G) = -ʃ a b f(x)dx.

Օրինակ 1.

Հաշվեք y = x 3 տողերով սահմանափակված գործչի տարածքը; y = 1; x = 2.

Լուծում.

Տրված տողերը կազմում են ABC պատկերը, որը ցույց է տրված դուրս գալով բրինձ. 2.

Պահանջվող տարածքը հավասար է կորագիծ տրապիզոիդ DACE-ի և DABE քառակուսու տարածքների տարբերությանը:

Օգտագործելով S = ʃ a b f(x)dx = S(b) – S(a) բանաձևը, մենք գտնում ենք ինտեգրման սահմանները: Դա անելու համար մենք լուծում ենք երկու հավասարումների համակարգ.

(y = x 3,
(y = 1.

Այսպիսով, մենք ունենք x 1 = 1 - ստորին սահմանը և x = 2 - վերին սահմանը:

Այսպիսով, S = S DACE – S DABE = ʃ 1 2 x 3 dx – 1 = x 4 /4| 1 2 – 1 = (16 – 1)/4 – 1 = 11/4 (քառ. միավոր):

Պատասխան՝ 11/4 քառ. միավորներ

Օրինակ 2.

Հաշվեք y = √x տողերով սահմանափակված գործչի տարածքը; y = 2; x = 9.

Լուծում.

Տրված տողերը կազմում են ABC պատկերը, որը վերևում սահմանափակված է ֆունկցիայի գրաֆիկով

y = √x, իսկ ներքևում ներկայացված է y = 2 ֆունկցիայի գրաֆիկը: բրինձ. 3.

Պահանջվող տարածքն է S = ʃ a b (√x – 2): Գտնենք ինտեգրման սահմանները՝ b = 9, a գտնելու համար լուծում ենք երկու հավասարումների համակարգ.

(y = √x,
(y = 2.

Այսպիսով, մենք ունենք, որ x = 4 = a - սա ստորին սահմանն է:

Այսպիսով, S = ∫ 4 9 (√x – 2)dx = ∫ 4 9 √x dx –∫ 4 9 2dx = 2/3 x√x| 4 9 – 2х| 4 9 = (18 – 16/3) – (18 – 8) = 2 2/3 (քառ. միավոր):

Պատասխան՝ S = 2 2/3 քառ. միավորներ

Օրինակ 3.

Հաշվեք y = x 3 – 4x գծերով սահմանափակված նկարի մակերեսը; y = 0; x ≥ 0.

Լուծում.

Եկեք գծենք y = x 3 – 4x ֆունկցիան x ≥ 0-ի համար: Դա անելու համար գտե՛ք y’ ածանցյալը.

y’ = 3x 2 – 4, y’ = 0 x = ±2/√3 ≈ 1.1 – կրիտիկական կետերում:

Եթե ​​թվային ուղիղի վրա գծենք կրիտիկական կետերը և դասավորենք ածանցյալի նշանները, ապա կհայտնաբերենք, որ ֆունկցիան զրոյից նվազում է մինչև 2/√3, իսկ 2/√3-ից աճում է գումարած անվերջության։ Ապա x = 2/√3 նվազագույն կետն է, y ֆունկցիայի նվազագույն արժեքը min = -16/(3√3) ≈ -3:

Որոշենք գրաֆիկի հատման կետերը կոորդինատային առանցքներով.

եթե x = 0, ապա y = 0, ինչը նշանակում է, որ A(0; 0) հատման կետն է Oy առանցքի հետ;

եթե y = 0, ապա x 3 – 4x = 0 կամ x(x 2 – 4) = 0, կամ x(x – 2)(x + 2) = 0, որտեղից x 1 = 0, x 2 = 2, x 3 = -2 (հարմար չէ, քանի որ x ≥ 0):

A(0; 0) և B(2; 0) կետերը գրաֆիկի հատման կետերն են Ox առանցքի հետ:

Տրված տողերը կազմում են OAB-ի պատկերը, որը ցույց է տրված դուրս գալով բրինձ. 4.

Քանի որ y = x 3 – 4x ֆունկցիան բացասական արժեք է ընդունում (0; 2), ապա

S = |ʃ 0 2 (x 3 – 4x)dx|.

Ունենք՝ ʃ 0 2 (x 3 – 4х)dx =(x 4 /4 – 4х 2 /2)| 0 2 = -4, որտեղից S = 4 քառ. միավորներ

Պատասխան՝ S = 4 քառ. միավորներ

Օրինակ 4.

Գտե՛ք y = 2x 2 – 2x + 1 պարաբոլով սահմանափակված պատկերի մակերեսը, x = 0, y = 0 ուղիղները և այս պարաբոլային շոշափողը x 0 = 2 աբսցիսայով կետում:

Լուծում.

Նախ, եկեք հավասարություն ստեղծենք y = 2x 2 – 2x + 1 պարաբոլային շոշափողի համար x₀ = 2 աբսցիսայի կետում:

Քանի որ y’ = 4x – 2 ածանցյալը, ապա x 0 = 2-ի համար մենք ստանում ենք k = y’(2) = 6:

Գտնենք շոշափող կետի օրդինատը՝ y 0 = 2 2 2 – 2 2 + 1 = 5:

Հետևաբար, շոշափող հավասարումն ունի ձև՝ y – 5 = 6 (x– 2) կամ y = 6x – 7:

Եկեք կառուցենք տողերով սահմանափակված պատկեր.

y = 2x 2 – 2x + 1, y = 0, x = 0, y = 6x – 7:

Г у = 2х 2 – 2х + 1 – պարաբոլա։ Կոորդինատային առանցքների հետ հատման կետերը՝ A(0; 1) – Oy առանցքի հետ; Ox առանցքի հետ - չկան հատման կետեր, քանի որ 2x 2 – 2x + 1 = 0 հավասարումը լուծումներ չունի (Դ< 0). Найдем вершину параболы:

x b = 2/4 = 1/2;

y b = 1/2, այսինքն՝ B պարաբոլային կետի գագաթն ունի B(1/2; 1/2) կոորդինատներ:

Այսպիսով, այն գործիչը, որի տարածքը պետք է որոշվի, ցուցադրվում է ելուստով բրինձ. 5.

Մենք ունենք՝ S O A B D = S OABC – S ADBC:

Պայմանից գտնենք D կետի կոորդինատները.

6x – 7 = 0, այսինքն. x = 7/6, ինչը նշանակում է DC = 2 – 7/6 = 5/6:

Մենք գտնում ենք DBC եռանկյունու տարածքը S ADBC ​​= 1/2 · DC · BC բանաձևով: Այսպիսով,

S ADBC ​​= 1/2 · 5/6 · 5 = 25/12 քառ. միավորներ

S OABC = ʃ 0 2 (2x 2 – 2x + 1)dx = (2x 3 /3 – 2x 2 /2 + x)| 0 2 = 10/3 (քառ. միավոր):

Վերջապես մենք ստանում ենք՝ S O A B D = S OABC – S ADBC ​​= 10/3 – 25/12 = 5/4 = 1 1/4 (քառ. միավոր):

Պատասխան՝ S = 1 1/4 քառ. միավորներ

Մենք դիտարկել ենք օրինակներ գտնելով տրված գծերով սահմանափակված թվերի մակերեսները. Նման խնդիրները հաջողությամբ լուծելու համար պետք է կարողանալ հարթության վրա գծել ֆունկցիաների գծեր և գրաֆիկներ, գտնել գծերի հատման կետերը, կիրառել տարածքը գտնելու բանաձև, որը ենթադրում է որոշակի ինտեգրալներ հաշվարկելու ունակություն։

կայքը, նյութը ամբողջությամբ կամ մասնակի պատճենելիս անհրաժեշտ է հղում աղբյուրին:

Սահմանումից հետևում է, որ f(x) ոչ բացասական ֆունկցիայի համար որոշակի ինտեգրալը հավասար է կորագիծ տրապեզիի մակերեսին, որը սահմանափակված է կորով y = f(x), ուղիղ գծեր x = a, x = b: իսկ abscissa = 0 (Նկար 4.1):

Եթե ​​– f(x) ֆունկցիան ոչ դրական է, ապա որոշակի ինտեգրալը
հավասար է համապատասխան կորագիծ trapezoid-ի մակերեսին, վերցված մինուս նշանով (Նկար 4.7):

Նկար 4.7 – Որոշակի ինտեգրալի երկրաչափական նշանակությունը ոչ դրական ֆունկցիայի համար

F(x) կամայական շարունակական ֆունկցիայի համար որոշակի ինտեգրալ
հավասար է f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկի տակ և աբսցիսային առանցքի վերև ընկած կորագիծ տրապեզոիդների մակերեսների գումարին, հանած f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկից վեր և ներքև ընկած կորագիծ տրապիզոիդների տարածքների գումարը։ abscissa առանցքը (Նկար 4.8):

Նկար 4.8 – F(x) կամայական շարունակական ֆունկցիայի համար որոշակի ինտեգրալի երկրաչափական նշանակությունը (գումարած նշանը նշում է ավելացված տարածքը, իսկ մինուս նշանը նշում է այն տարածքը, որը հանվում է):

Գործնականում կորագիծ թվերի տարածքները հաշվարկելիս հաճախ օգտագործվում է հետևյալ բանաձևը.
, որտեղ S-ը [a,b] հատվածի y = f 1 (x) և y = f 2 (x) կորերի միջև պարփակված գործչի մակերեսն է, և f 1 (x) և f 2 (x): ) այս հատվածի վրա սահմանված շարունակական ֆունկցիաներ են, այնպիսին, որ f 1 (x) ≥ f 2 (x) (տես Նկարներ 4.9, 4.10):

Ածանցյալի տնտեսական նշանակությունն ուսումնասիրելիս պարզվել է, որ ածանցյալը գործում է որպես որոշ տնտեսական օբյեկտի կամ գործընթացի փոփոխության արագություն ժամանակի ընթացքում կամ ուսումնասիրվող մեկ այլ գործոնի նկատմամբ: Որոշակի ինտեգրալի տնտեսական նշանակությունը հաստատելու համար անհրաժեշտ է այդ արագությունն ինքնին դիտարկել որպես ժամանակի կամ այլ գործոնի ֆունկցիա։ Այնուհետև, քանի որ որոշակի ինտեգրալը ներկայացնում է հակաածանցյալի փոփոխություն, մենք ստանում ենք, որ տնտեսագիտության մեջ այն գնահատում է այս օբյեկտի (գործընթացի) փոփոխությունը որոշակի ժամանակահատվածում (կամ մեկ այլ գործոնի որոշակի փոփոխությամբ):

Օրինակ, եթե q=q(t) ֆունկցիան նկարագրում է աշխատանքի արտադրողականությունը՝ կախված ժամանակից, ապա այս ֆունկցիայի որոշակի ինտեգրալը.
ներկայացնում է Q ելքի ծավալը t 0-ից t 1 ժամանակահատվածի համար:

Որոշակի ինտեգրալների հաշվարկման մեթոդներհիմնված են ավելի վաղ քննարկված ինտեգրման մեթոդների վրա (մենք ապացույցներ չենք անի):

Անորոշ ինտեգրալը գտնելիս մենք օգտագործել ենք փոփոխական փոփոխության մեթոդը՝ հիմնված f(x)dx= =f((t))`(t)dt, որտեղ x =(t) ֆունկցիան է: տարբերակելի է հաշվի առնելով միջեւ. Որոշակի ինտեգրալի համար փոփոխական փոփոխության բանաձևն ընդունում է ձևը
, Որտեղ
և բոլորի համար։

Օրինակ 1. Գտեք

Թող t= 2 –x 2: Այնուհետև dt= -2xdx և xdx= - ½dt:

x = 0 t= 2 – 0 2 = 2. Ժամը x = 1t= 2 – 1 2 = 1. Հետո

Օրինակ 2. Գտեք

Օրինակ 3. Գտեք

Որոշակի ինտեգրալի համար մասերով ինտեգրման բանաձևը ստանում է հետևյալ ձևը.
, Որտեղ
.

Օրինակ 1. Գտեք

Թող u=ln(1 +x),dv=dx: Հետո

Օրինակ 2. Գտեք

Հարթ թվերի մակերեսների հաշվարկը որոշակի ինտեգրալով

Օրինակ 1.Գտե՛ք y = x 2 – 2 և y = x տողերով սահմանափակված նկարի մակերեսը։

y= x 2 – 2 ֆունկցիայի գրաֆիկը պարաբոլա է, որի նվազագույն կետը՝ x= 0, y= -2; Աբսցիսայի առանցքը հատվում է կետերում
. y = x ֆունկցիայի գրաֆիկը ուղիղ գիծ է, ոչ բացասական կոորդինատների քառորդի կիսորդը։

Գտնենք y = x 2 – 2 պարաբոլի և y = x ուղիղի հատման կետերի կոորդինատները՝ լուծելով այս հավասարումների համակարգը.

x 2 – x - 2 = 0

x = 2; y= 2 կամ x = -1;y= -1

Այսպիսով, այն գործիչը, որի տարածքը պետք է գտնել, ներկայացված է Նկար 4.9-ում:

Նկար 4.9 – Նկար, որը սահմանափակված է y = x 2 – 2 և y = x տողերով

[-1, 2] x ≥ x 2 – 2 հատվածում:

Եկեք օգտագործենք բանաձևը
, դնելով f 1 (x) = x; f 2 (x) = x 2 – 2;a= -1;b= 2.

Օրինակ 2.Գտեք y = 4 - x 2 և y = x 2 - 2x տողերով սահմանափակված նկարի մակերեսը:

y = 4 - x 2 ֆունկցիայի գրաֆիկը պարաբոլա է, որի առավելագույն կետը x = 0, y = 4 է; X առանցքը հատվում է 2 և -2 կետերում: y = x 2 – 2x ֆունկցիայի գրաֆիկը պարաբոլա է, որի նվազագույն կետը 2x- 2 = 0, x = y = -1; X առանցքը հատվում է 0 և 2 կետերում:

Գտնենք կորերի հատման կետերի կոորդինատները.

4 - x 2 = x 2 – 2x

2x 2 – 2x - 4 = 0

x 2 – x - 2 = 0

x = 2; y= 0 կամ x = -1;y= 3

Այսպիսով, այն գործիչը, որի տարածքը պետք է գտնել, ներկայացված է Նկար 4.10-ում:

Նկար 4.10 - Նկար, որը սահմանափակված է y = 4 - x 2 և y = x 2 – 2x տողերով

[-1, 2] հատվածում 4 - x 2 ≥ x 2 – 2x:

Եկեք օգտագործենք բանաձևը
, դնելով f 1 (x) = 4 - - x 2; f 2 (x) = x 2 – 2x;a= -1;b= 2.

Օրինակ 3.Գտեք y = 1/x գծերով սահմանափակված մակերեսը ոչ բացասական կոորդինատային քառորդում:

y = 1/x ֆունկցիայի գրաֆիկը դրական x-ի համար այն ուռուցիկ է դեպի ներքեւ; կոորդինատային առանցքները ասիմպտոտներ են: y = x 2 ֆունկցիայի գրաֆիկը ոչ բացասական կոորդինատային քառորդում պարաբոլայի մի ճյուղ է՝ սկզբում նվազագույն կետով: Այս գրաֆիկները հատվում են 1/x = x 2; x 3 = 1; x = 1; y = 1.

y = 1/x ֆունկցիայի գրաֆիկը հատում է y = 4 ուղիղը x = 1/4-ում, իսկ y = x 2 ֆունկցիայի գրաֆիկը x = 2-ում (կամ -2):

Այսպիսով, այն գործիչը, որի տարածքը պետք է գտնել, ներկայացված է Նկար 4.11-ում:

Նկար 4.11 - y = 1/x տողերով սահմանափակված նկար; y= x 2 և y= 4 ոչ բացասական կոորդինատների քառորդում

ABC նկարի պահանջվող տարածքը հավասար է ABHE ուղղանկյան տարածքի տարբերությանը, որը հավասար է 4 * (2 - ¼) = 7-ի, և երկու կորագիծ trapezoids ACFE և տրապիզոիդների տարածքների գումարին: CBHF. Եկեք հաշվարկենք ACFE տարածքը.

Եկեք հաշվարկենք SVНF տարածքը.

.

Այսպիսով, պահանջվող տարածքը 7 – (ln4 + 7/3) = 14/3 –ln43.28 (միավոր 2):

Դասարան: 11

Ներկայացում դասի համար

Հետ առաջ

Ուշադրություն. Սլայդների նախադիտումները միայն տեղեկատվական նպատակներով են և կարող են չներկայացնել շնորհանդեսի բոլոր հատկանիշները: Եթե ​​դուք հետաքրքրված եք այս աշխատանքով, խնդրում ենք ներբեռնել ամբողջական տարբերակը:

Դասի նպատակները.Որոշակի ինտեգրալ օգտագործելով հարթ թվերի մակերեսները հաշվարկելու բանաձևը. զարգացնել հարթ թվերի մակերեսները որոշակի ինտեգրալով հաշվարկելու հմտություն. կրկնել հայտնիը և տրամադրել նոր տեղեկատվություն ինտեգրալ հաշվարկի պատմությունից. քննության նախապատրաստում; շարունակել աշխատել ուշադրության, խոսքի, տրամաբանական մտածողության և գրավոր ճշգրտության զարգացման վրա. բարելավել գրաֆիկական մշակույթը; շարունակել զարգացման աշխատանքները ստեղծագործականությունուսանողներ; բարձրացնել հետաքրքրությունը մաթեմատիկա ուսումնասիրելու նկատմամբ;

Սարքավորումներ:մուլտիմեդիա պրոյեկտոր, էկրան, շնորհանդես թեմայի շուրջ՝ մշակված Power Point միջավայրում։

Դասի առաջընթաց

I. Դասի թեմայի և նպատակի կազմակերպչական պահը.

II. Տնային առաջադրանքների ստուգում.

Լրացուցիչ տնային աշխատանքների ստուգում (ուսուցիչը լուծումը ցույց է տալիս նախապես պատրաստված նկարի վրա, լուծումը գրատախտակի հետևի մասում է).

Հաշվե՛ք y = 1+ 3cos(x/2), x = -π/2, x = 3π/2, y = 0 ֆունկցիաների գրաֆիկներով սահմանափակված նկարի մակերեսը։

III. Հիմնական գիտելիքների թարմացում:

1. Բանավոր աշխատանք(Սլայդներ 3-4)

1. Օգտագործելով ինտեգրալը, արտահայտեք նկարներում ներկայացված թվերի մակերեսները.
2. Հաշվեք ինտեգրալները.

2. Մի փոքր պատմություն. (Սլայդներ 5-9)

Ուսանողների համակարգչային նախագծի մի հատված «Ինտեգրալ հաշվարկի պատմությունից» թեմայով։

1 ուսանող

Ինտեգրալ- մաթեմատիկայի ամենակարևոր հասկացություններից մեկը, որն առաջացել է մի կողմից դրանց ածանցյալներով ֆունկցիաներ գտնելու, մյուս կողմից՝ տարածքները, ծավալները, աղեղների երկարությունները, ուժերի աշխատանքը չափելու անհրաժեշտության հետ կապված։ որոշակի ժամանակահատված և այլն:

Ինտեգրալ բառն ինքնին հորինել է Ջ.Բեռնուլի(1690)։ Այն գալիս է լատիներենից ամբողջ թվով, թարգմանաբար բերել նախկին վիճակին, վերականգնել։

Ինտեգրալ հաշվարկի հետ կապված այլ տերմիններ, որոնք դուք կարող եք իմանալ, հայտնվեցին շատ ավելի ուշ: Ներկայիս անունը հակաածանցյալ ֆունկցիափոխարինել է ավելի վաղ «պարզունակ գործառույթ», որը ներկայացրել է Ջոզեֆ Լուիսը Լագրանժ(1797)։ Լատինական բառ պրիմիտիվուսթարգմանվել է որպես «սկզբնական»:

Ինտեգրալ հաշվարկի խնդիրների առաջացումը կապված է տարածքների և ծավալների հայտնաբերման հետ։ Այս կարգի մի շարք խնդիրներ լուծվել են մաթեմատիկոսների կողմից հին Հունաստան. Ինտեգրալների հաշվարկման առաջին հայտնի մեթոդը Eudoxus-ի սպառման մեթոդն է ( մոտավորապես 370 մ.թ.ա մ.թ.ա.), ովքեր փորձել են գտնել տարածքներ և ծավալներ՝ դրանք բաժանելով անսահման թվով մասերի, որոնց տարածքը կամ ծավալն արդեն հայտնի էր։ Այս մեթոդը ընդունվել և մշակվել է Արքիմեդի կողմից և օգտագործվել պարաբոլների տարածքները հաշվարկելու և շրջանագծի մակերեսը մոտավոր հաշվարկելու համար:

Սակայն Արքիմեդը չառանձնացրեց ընդհանուր բովանդակությունինտեգրման տեխնիկան և ինտեգրալի հասկացությունները, և առավել ևս չեն ստեղծել ինտեգրալ հաշվարկի ալգորիթմ:

Արքիմեդի աշխատությունները, որոնք առաջին անգամ գրվել են 1544 թվականին, եղել են ինտեգրալ հաշվարկի զարգացման կարևորագույն ելակետերից մեկը։

2 ուսանող

Ինտեգրալ հասկացությունն անմիջականորեն կապված է ինտեգրալ հաշվարկի հետ՝ մաթեմատիկայի մի ճյուղ, որը զբաղվում է ինտեգրալների, դրանց հատկությունների և հաշվարկման մեթոդների ուսումնասիրությամբ։

Մենք մոտեցանք ինտեգրալ հասկացությանը և ավելի ճշգրիտ Իսահակ Նյուտոն. Նա առաջինն էր, ով կառուցեց դիֆերենցիալ և ինտեգրալ հաշվարկ և այն անվանեց «Հոսքերի մեթոդ...» (1670-1671, հրապարակ. 1736): Նյուտոնը անվանել է փոփոխականները տիրապետում է(ընթացիկ արժեքներ, սկսած լատ. fluo – հոսք): Փոփոխության արագությունը սահուն Նյուտոն – fluxions, և հոսքերի անվերջ փոքր փոփոխությունները, որոնք անհրաժեշտ են հոսքերը հաշվարկելու համար. պահեր«(Լայբնիցը դրանք անվանեց դիֆերենցիալներ): Այսպիսով, Նյուտոնը հիմնեց հոսքերի (ածանցյալ) և ֆլյուենտների (հակածանցյալ, կամ անորոշ ինտեգրալ) հասկացությունները:

Սա անմիջապես հնարավորություն տվեց լուծել մաթեմատիկական և ֆիզիկական խնդիրների լայն տեսականի:

Նյուտոնի հետ միաժամանակ մեկ այլ նշանավոր գիտնական եկավ նմանատիպ գաղափարների. Գոթֆրիդ Վիլհելմ Լայբնից.

Խորհելով փիլիսոփայական և մաթեմատիկական հարցերի շուրջ՝ Լայբնիցը համոզվեց, որ մաթեմատիկան կարող է լինել գիտության մեջ ճշմարտությունը փնտրելու և գտնելու ամենահուսալի միջոցը։ Ինտեգրալ նշանը (∫) առաջին անգամ օգտագործել է Լայբնիցը 17-րդ դարի վերջին։ Այս խորհրդանիշը ձևավորվել է S տառից՝ լատիներեն բառի հապավումը: ամփոփում(գումար):

Նյուտոնը և Լայբնիցը մշակել են սովորական որոշակի ինտեգրալի հայեցակարգի երկու մեկնաբանություն։

Նյուտոնը որոշակի ինտեգրալը մեկնաբանեց որպես հակաածանցյալ ֆունկցիայի համապատասխան արժեքների տարբերություն.

,
Որտեղ F`(x)=f(x).

Լայբնիցի համար որոշակի ինտեգրալը բոլոր անվերջ փոքր դիֆերենցիալների գումարն էր։

Բանաձևը, որը Նյուտոնը և Լայբնիցը հայտնաբերեցին միմյանցից անկախ, կոչվում էր Նյուտոն-Լայբնից բանաձև.

Այսպիսով, ինտեգրալ հասկացությունը կապված էր հայտնի գիտնականների անունների հետ՝ Նյուտոն, Լայբնից, Բեռնուլի, ովքեր հիմք դրեցին ժամանակակից մաթեմատիկական վերլուծության համար։

IV. Նոր նյութի բացատրություն.

Օգտագործելով ինտեգրալը, դուք կարող եք հաշվարկել ոչ միայն կոր trapezoids- ի, այլև ավելի բարդ տիպի հարթ պատկերների տարածքները:

Թող գործիչը Պսահմանափակվում է ուղիղ գծերով X = ա, x = բև ֆունկցիաների գրաֆիկները y = զ(x) Եվ y = է(x), իսկ հատվածում [ ա;բ] անհավասարությունը պահպանվում է է(x)զ(x).

Նկարի մակերեսը հաշվարկելու համար մենք կպատճառաբանենք հետևյալ կերպ. Եկեք դա անենք զուգահեռ փոխանցումթվեր Պվրա մմիավորներ այնպես, որ գործիչը Պպարզվել է, որ գտնվում է աբսցիսային առանցքի վերեւում գտնվող կոորդինատային հարթությունում:

Այժմ այն ​​վերևում և ներքևում սահմանափակված է ֆունկցիայի գրաֆիկներով y = զ(x)+մԵվ

y = է(x)+մ, և երկու ֆունկցիաներն էլ շարունակական են և ոչ բացասական [ինտերվալի վրա] ա;բ].

Մենք նշում ենք ստացված պատկերը ABCD. Դրա տարածքը կարելի է գտնել որպես թվերի տարածքների տարբերություն.

S ABCD = S aDCb – S aABb = =
=

Այսպիսով, S նկարի տարածքը սահմանափակված է ուղիղ գծերով X = ա, x = բև ֆունկցիաների գրաֆիկները y = զ(x) Եվ y = է(x), շարունակական միջակայքում [ ա;բ] և նրանք, որոնք բոլորի համար են Xհատվածից [ ա;բ] անհավասարությունը պահպանվում է է(x)զ(x), հաշվարկված բանաձևով

Օրինակ.(Սլայդ 11) Հաշվեք գծերով սահմանափակված նկարի տարածքը y = x, y = 5 – x, x = 1, x = 2.

Նկարի մակերեսը հաշվարկելու այս բանաձևերից ընտրեք այն, որը համապատասխանում է վեց գծագրերից մեկին: (Սլայդ 14)

Առաջադրանք 3.(Սլայդ 15) Հաշվեք ֆունկցիայի գրաֆիկով սահմանափակված գործչի մակերեսը y = 0,5x 2+ 2, այս գրաֆիկին շոշափող աբսցիսայի կետում X= -2 և ուղիղ X = 0.

1. Ստեղծենք ֆունկցիայի գրաֆիկի շոշափողի հավասարումը y = 0,5x 2+ 2 աբսցիսայի մոտ X = -2:

y = զ(x 0) + զ"(x 0)(x – x 0)
զ(-2) = 0,5∙(-2) 2 + 2 = 4
զ"(x) = (0,5x 2 + 2)"= x
զ"(-2) = -2
y = 4 – 2(x + 2)
y = -2x

2. Կառուցենք ֆունկցիաների գրաֆիկները։

3. Գտեք նկարի մակերեսը ABC.

VI. Ամփոփելով.

• հարթության թվերի մակերեսների հաշվարկման բանաձև;
• հարթ թվերի տարածքների համար բանաձևեր գրել որոշակի ինտեգրալով.
• ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափողի հավասարման կրկնում և մոդուլով հավասարումը լուծում.
• դասարանների աշակերտները.

VII. Տնային աշխատանք.

1. պարբերություն 4, էջ 228-230;
2. Թիվ 1025 (գ, դ), թիվ 1037 (գ, դ), թիվ 1038 (գ, դ)

Դասագիրք Ա. Գ. Մորդկովիչ «Հանրահաշիվ և վերլուծության սկզբունքներ 10–11»